命題「Y⊂X:Txを位相とする位相空間の時、X:Hausdorff⇒Y:Hausdorff」

質問

『位相空間(X,T)がHausdorff空間
⇔
X∋∀x,y:相異なる,
∃S1,S2 such that S1∈NS(x,T),S2∈NS(y,T),S1∩S2=φ
NS(x,T):={S∈T;x∈S}:近傍系』

という定義の元に

命題
「Y⊂X:Txを位相とする位相空間
の時、
X:Hausdorff⇒Y:Hausdorff」

を示したいのです。
これは厳密に述べると

「XがHaudorff空間をなすならばYも独自の位相Tyを持ち、位相空間(Y,Ty)は
『Y∋∀x,y:相異なる,
∃S1,S2 such that S1∈NS(x,Ty),S2∈NS(y,Ty),S1∩S2=φ
NS(x,Ty):={S∈Ty;x∈S}』をなす」

という事ですよね。

で、実際に示してみますと

もし、Y=φの時は勿論、Y:Hausdorff
Y≠φの時は
Y∋∀x1,x2:相異なる
∃S1∈NS(x1,Tx),S2∈NS(x2,Tx) such that S1∩S2=φ
S1':=S1/Y,S2':=S2/Yと置くと、S1'∩S2'=φ
、、、とここまでは分かるのですが
更に
S1',S2'∈Ty(:集合Yにおける位相)
でなければHausdorff空間をなしませんよね。
Tyはどのように定義すればいいのでしょうか?

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>S1':=S1/Y,S2':=S2/Yと置くと、S1'∩S2'=φ

S1/Y とか S2/Y って何ですか？
スラッシュの意味です

それと，位相空間Xの部分集合Yに位相をいれる方法は
ご存知ですか？
「相対位相」をご存知ですか？

>Yも独自の位相Tyを持ち、
この「独自の位相」が問題です．

おおもとのXと全く関係ない位相をYにいれたら
XがHausdorffでもYはそうなるとは限りません．
例：R：普通の実数（距離による位相をいれる）
区間I=[0,1]：一番粗い位相（Iそのものと空集合だけの位相）をいれる
IはRの部分集合，RはHausdorff，Iには「独自の位相」があるが
IはHausdorffではない．

お礼

有難うございました。
お陰様で大変参考になりました。

補足

S1':=S1/Y
は
S1':=S1＼Y　(差集合)
の意味で書きました。
失礼致しました。

回答No.2

totoro7683

Yにどのような位相を入れるかはYが与えられると決まるわけではなく、
自分で決めなければなりません。
この問題の場合はYに相対位相を入れるのが自然です。
そうするとYはハウスドルフになります。
（位相の入れ方によってはなりません）
相対位相とはYの開集合系をTY＝｛S∩Y|S∈TX}
と定めます。TYが開集合系の公理を満たすことは簡単に確かめられます。
そうすると質問文中のS1':=S1∩Y、S2'=S2∩Y
(/は∩の間違いですね？）は定義によりYの開集合になり、Yはハウスドルフになります。

お礼

有難うございました。
お陰様で大変参考になりました。

補足

S1':=S1/Y
は
S1':=S1＼Y　(差集合)
の意味で書きました。
失礼致しました。