平均値の定理を使った応用問題ですが

質問

任意の正の数x,yに対して|e^(-x)-e^(-y)|≦k|x-y|・・・・（＊）が成り立つような定数kの最小値を求めよ。 という問題でまず、
(i), x=yのとき、左辺＝右辺＝０となり、どのようなkに対しても（＊）は成り立つ。

(ii), x≠yのとき、平均値の定理から、|e^(-x)-e^(-y)|=e^(-c)|x-y| (ｘ＜ｃ＜ｙまたはｘ＞ｃ＞ｙ）・・・・(1)
を満たすcが存在するがx,yが正ならばc>0となり、e^(-c)<1,ゆえに、k≧1のときは、任意のx,yに対して（＊）が成り立つ。
また、0<k<1とすると、k<e^(-x)<1,逆数の対数をとってlog(1/k)>x>0,よってlog(1/k)>x1>y1>0を満たすx1,y1をとれば、
x1>c1>y1>となるc1については、e^(-c1)>k,
ゆえに、(1)から|e^(-x)-e(-y)|＞k|x-y|となり、成り立たない。
(i),(ii)より、求めるkの最小値は１である。
という解答ですが

〉0<k<1とすると、k<e^(-x)<1
とありますがなぜそういえるのかがわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

それはたぶん
「となる x>0 が存在する」
を補ってやるのがよいかと.

お礼

なるほど！助かりました。回答ありがとうございました。