数学の微分方程式の一般解について教えて下さい。

質問

数学の常微分方程式の問題について。一般解を求める問題です。 以下の常微分方程式の一般解を求める。

１．y''-2y'-3y=x^3

２. y'''-2y''-y'+2y=e^ (-x)

３. y''+y'+y=x^2・e^x

特殊解の出し方が良く分からず困っています。試験があるので解き方を早急に教えてほしいのです。一問でも書き込んでくれたらとてもうれしいです。
他力本願ではありますが助けて下さい。宜しくお願い致します。

回答No.3

Tacosan

ざっと確認したところそんな感じです.

もちろん 2つの指数関数の係数は違う値にできるようしておかないとダメですが.

回答No.2

WiredLogic

特殊解の出し方ならば、

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bibun0.htm
の
「3. 線形微分方程式の特殊解の求め方」に、未定係数法の
「4. 特殊解の求め方（逆演算子法）」に、逆演算子法、あるいは、記号法というやり方の
説明があり、結構、解りやすいと思います。

逆演算子法は、練習しておけば、かなり機械的に答が求められるので、便利ですし、学校で今後もこういう微分方程式を解くことが多ければ、身に付けた方がいい手ではありますが、十分練習した上でないと、使いこなすのは難しいところがあります。

未定係数法は、解くのは簡単で、なぜこれで大丈夫かも、自明なので、楽ですが、勝負は、最初のこんな形になるはず、という山がはれるか、どうか、というところです。

説明を見れば、大方のことは解ると思いますが、
ポイントは、y=～とおいて、左辺の計算をしたときに、
右辺の形になりそうなものを考える、というところで、

例えば、１番なら、微分をすると次数が下がるので、
xの３次の項はないと、右辺がx^3になることはない、
xの４次の項があると、yにあるx^4の項が、y"やy'と
足し算引き算して消える訳はないので、
y=xの３次式=Ax^3+bx^2+Cx+Dとおけばいいだろう。

２番なら、上のPDFにもちょっと説明がありますが、
右辺だけをみると、y=Ae^(-x)とおいてよさそうですが、
y=e^(-x) が、同次解または基本解の一つになると
(実際になる訳ですが)、それではマズいので、
y=Ax*e^(-x)のような形を試さないといけない。

右辺が、三角関数・sinxやcosxのときは、
これと似ていますが、sin,cosは、微分するごとに、
互いに行ったり来たりするので、右辺が片方だけでも、
y=A*sinx+B*cosxのような形でおかないといけない。

３番なら、e^xは、微分しても形を変えないので、
x^2の方だけ、１番のように考えると、
y=(Ax^2+Bx+C)e^x のおけば、何とかなるだろう、

このくらいを心がけておけば、まぁ、何とかなるんじゃ
ないでしょうか。

補足

丁寧にありがとうございます。
1番なんですが、ABCDと分数で複雑な数が出て来てしまったのですが、
一般解はy=ce^-x+ce^3x+-1/3x^3+2/3x^2-14/9x+40/27になってしまいました。
形としては、こんな感じで良いのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

一般的っぽいやりかただけ:
まず, 1 のように「多項式になっている」場合には, 普通多項式を想定します.

2 の場合は指数関数となっているので, 指数関数だろうとおもって代入してみましょう (三角関数は指数関数なので指数関数と思ってもいいし, 三角関数と思ってもいい). うまくいけばいいけど, ダメなこともあるので, そのようなときには 3 のように「多項式と指数関数の積」と考えるとだいたいなんとかなる.

お礼

ありがとうございます。頑張って解いてみます。