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最大値の原理について

最大値の原理を用いて次の問題を解きたいです。 f(z)=z^2+2のとき、|f(z)|の|z|<=1における最大値、最小値を求めよ。 答えは最大値は3、最小値は1なのですがそこに至れません。どなたか教えてください。 お願いします。

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  • rnakamra
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回答No.3

> 早速の回答有難うございます。解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。 これは完全に高校数学レベルの問題。 z^2={cos(t)+i*sin(t)}^2=cos(2t)+i*sin(2t) |f(z)|=|cos(2t)+i*sin(2t)+2|=√[{cos(2t)+2}^2+{sin(2t)}^2] 後は[]の中を展開するだけ。{cos(2t)}^2+{sin(2t)}^2=1 ですのでcos,sinの2次の項は残りません。

nozomut
質問者

お礼

よくわかりました。虚数の絶対値の計算の方法をすっかり忘れていました。どうも有り難うございます。

その他の回答 (2)

  • rnakamra
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回答No.2

最大値の原理から、|f(z)|の最大値は領域|z|≦1の境界、つまり|z|=1の中でで最大値をとります。 |z|=1つまり、z=e^(iθ) (0≦θ<2π)におけるz^2+2=|e^(2iθ)+2|の最大値を調べればよいでしょう。 |z|≦1における|f(z)|の最小値はその逆数を考えてみればよいでしょう。 つまり、1/f(z)=1/(z^2+2) について考えてみます。 1/(z^2+2)の特異点はz=±(√2)i であり、これは|z|≦1の領域内にはありません。 1/(z^2+2) は|z|≦1の領域内で正則です。 最大値の原理から|1/(z^2+2)|は領域|z|≦1の境界、つまり|z|=1の中で最大値をとります。 |1/(z^2+2)|が最大となる時、|z^2+2|は最小となります。 |z|=1つまり、z=e^(iθ) (0≦θ<2π)における|z^2+2=e^(2iθ)+2|の最小値を調べればよいでしょう。

nozomut
質問者

お礼

良くわかりました。どうも有り難うございます。

nozomut
質問者

補足

早速の回答有難うございます。解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。

  • Willyt
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回答No.1

与式は頂点が(0,2) で下に凸な放物線です。一方|z|<=1は -1≦z≦1ですね。これをグラフに図示して見て下さい。 そうすると、z=±1で最大値の3を取ることが分りますね。一方、最小値はz=0のときでその値は1ではなく、2ですよ。

nozomut
質問者

お礼

複素関数の最大値問題であることを言い忘れました。ですが、ご回答どうも有り難うございます。

nozomut
質問者

補足

早速の回答有難うございます。解答によれば、z=cos(t)+i*sin(t)とおくことにより、|f(z)|=√(5+4*cos(2t))となり、これにより最小値と最大値は、1、3となるということですが、|f(z)|がこのような関数になることが理解できません。