最大値、最小値

質問

もうちょっとくわしく理解したい問題があるので教えてください。

問い　0°=<θ=<360°のとき、つぎの最大値、最小値、およびそのときの
θをもとめなさい
y=cos(θ+45°)cos(θ-45°)

解答
和積公式を使い、
=1/2cos2θ
0°=<θ=<360°より0°=<2θ=<720°
→ここまではわかるのですが、θの値を求める方法がはっきりわかりません。
最大値、最小値はわかっていると思います（-1<θ<1・・・）。

2θ=360°
すなわちθ=0°,180°のとき最大1/2　←θ=0°,180°のところが・・・
2θ=180°,540°
すなわちθ=90°,270°のとき最小-1/2　　←同じくここも？です。

よろしくお願いします。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

三角方程式・不等式を解くのには，単位円を使って求めるやり方がよく使われ，重要です．

点(x,y)＝(cosφ,sinφ)は原点中心の半径１の単位円x^2+y^2=1上の点で，
今の場合，φ＝２θなので，0°≦θ＜360°より　0°≦2θ＜720°
だから，この点が円上を反時計周りに２周すると考えればよい（ただし２θ＝０°は含み，２θ＝720°は含まない）．

最大値1/2になるのは　cos２θ＝１　のときで　ｘ座標＝１つまり点(１，０)の時なので，
２θ＝０°，360°⇔　θ＝０°，180°

最小値-1/2になるのは　cos２θ＝－１　のときで　ｘ座標＝－１つまり点(－１，０)の時なので，
２θ＝180°，540°⇔　θ＝90°，270°

お礼

たびたび回答ありがとうございます。本当に助かります。

＞点(x,y)＝(cosφ,sinφ)は原点中心の半径１の単位円x^2+y^2=1上の点で，

これしりませんでした。またよろしくお願いします。

回答No.3

sanpogo

難しく考える事無いです。

最大最小値が±1/2というのは分かっているのですよね。
で
-1/2になるのは
cos2θ＝-1
の時ですよね。
２θ＝１８０°、５４０°（０≦２θ≦７２０だから２周するんです）
なので
両辺２で割れば
９０度と２７０度ですよね。

同様に1/2になるのは
２θ＝０°、３６０°
０°と書いてないから分からなかったんですね。
θ＝０°、１８０°
です。

最大最小はグラフ書いたほうが簡単ですよ
周期が１８０°で最大1/2,最小-1/2

お礼

ありがとうございました。
むずかしく考えなくてよいんですね。すっごい考えてしまいました。
単位円書いていこうと思います。

回答No.2

oshiete_goo

補足に基づき修正解

(1/2)cos2θ
ただし
0°≦θ＜360°より　0°≦2θ＜720°
この範囲で　-1≦cos2θ≦1　であり，

最大値 1/2 をとるのは cos2θ=1 のとき
つまり 2θ=0°,360°⇔　θ=0°,180°(２で割った)

最小値 -1/2 をとるのは cos2θ=-1 のとき
つまり 2θ=180°,540°⇔　θ=90°,270°(２で割った)

回答No.1

oshiete_goo

疑問点
θ＝360°は本当に等号が入っていますか？
もしそうなら
＞すなわちθ=0°,180°のとき最大1/2
ここで360°もあるハズです．
もし入っていなければ，以下の説明も変更ありです．

(1/2)cos2θ
ただし
0°≦θ≦360°より　0°≦2θ≦720°

最大値 1/2 をとるのは cos2θ=1 のとき
つまり 2θ=0°,360°,720°⇔　θ=0°,180°,360°(２で割っただけ)

最小値 -1/2 をとるのは cos2θ=-1 のとき
つまり 2θ=180°,540°⇔　θ=90°,270°(２で割っただけ)

お礼

回答ありがとうございます。
失礼しました。おっしゃるとおり入っていないです。
正しくは
０°=<θ<３６０°
です。