積分路変形の原理で質問
[問] s∈C, Map((0,2π),C)∋f; (0,2π)∋∀ε→f(ε):=∫_0^{2π} (εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ,
但し, C_ε: z(t):=ε(cos(εt(2π))+isin(εt(2π))) (if ε≧1,1/ε≦t≦2/ε), ε(cos(2πt/ε)+isin(2πt/ε)) (if ε<1,ε≦t≦2ε)
この時,fはconstantである事を示せ。
を示しています。半径εの円に囲まれた領域(左図)はs=0でg(s):=(εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθは正則ではないのでCauchyの積分定理は使えません。それで半径δ(<ε)の円を考えると
∫_{C_ε}g(s)ds,∫_{C_δ}g(s)ds∈{∫_{C_ε}g(s)ds∈C;0<ε}=:Aで ∫_{C_ε}g(s)ds=∫_{C_δ}g(s)ds …【1】が成り立つ
(∵2円に囲まれた円環部分ではf(s)は正則なので積分路変形の原理による)。
Aから任意の2元を採ると必ず等しくなるのでAは単集合とわかる。
更に ∫_{C_ε}g(s)ds=lim_{δ→0}∫_{C_δ}g(s)ds (∵【1】) =0 (∵lim_{r→0}{(x,y)∈R^2;x^2+y^2=r^2}={(0,0)}よりlim_{δ→0}∫_{C_δ}g(s)ds =0と分かる)
従って, ∫_0^{2π} (εexp(iθ))^{s-1}εiexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1) dθ =0となりfはconstant.
となったのですがこれは間違いらしいのです。一体どこがおかしいのでしょうか?
お礼
アドバイスありがとうございます。ただ cos(x+iy)=cosxcos(iy)-sinxsin(iy)=cosxcoshy-isinxsinhyでですね、絶対値を取ると、 (cos^2xcosh^2y+sin^2xsinh^2y)^1/2=(cosh^2y-sin^2x)^1/2となって、それいこうがわからないのですが、よかったらアドバイスをお願いします。