数学B ベクトルの問題です。

質問

これは何年か前のオープン模試の問題なのですが
解答がなく困ってます。どなたか解ける方がいらしたらお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

(1)はひとまず直線：Lの式をパラメータ：tでも用いて表してみます。
そして、
・平面：πpとの交点は z座標が pとなる点であり、
・xy平面との交点は z座標が 0となる点

とすることで、パラメータ：tが pを用いて表されるので、
それを x座標、y座標に当てはめます。

(2)は、簡単そうに見えて「？？？」って感じでしょうか？
とりあえず、OP^2＝ OQ^2の式を立てるところまではいいと思います。
p≠ 0であることを考慮すると、pは
p＝ 2* { a^2+ b^2- (a+ b) }/(a^2+ b^2+ 1)＝ 2* { 1- (a+b+1)/(a^2+b^2+1) }

と a, bを用いて表すことができます。
そして、実数 a, bに対して (a+ b+ 1)/(a^2+ b^2+ 1)がとりうる値の範囲を求めることができれば
実数 pの範囲を求めることができます。
（2* { 1- (a+b+1)/(a^2+b^2+1) }がとりうる値の範囲に pがなければ、実数 a, bが存在しない）

そこで (a+ b+ 1)/(a^2+ b^2+ 1)＝ kとおいてみます。
問題文中において a+ b≠ -1とあるので、k≠ 0となります。
また、分母は a^2+ b^2+ 1≧ 1で 0になることはありません。

両辺に a^2+ b^2+ 1をかけて整理すると、次のようになります（k≠ 0を利用）。
{ a- 1/(2k) }^2+ { b- 1/(2k) }^2＝ 1/(2k^2)+ 1/k- 1

左辺は明らかに 0以上となり、右辺も 0以上の値をとらなければなりません。
よって、
(右辺)＝ 1/(2k^2)+ 1/k- 1≧ 0
これを解いて、p＝ 2* (1- k)に戻してあげると答えが次のようになります。
1-√3≦ p≦ 1+√3、ただし p≠ 0

もっと効率のいい解き方があるかもしれません。
参考になれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。
ひとつ質問なのですが
p＝ 2* { a^2+ b^2- (a+ b) }/(a^2+ b^2+ 1)＝ 2* { 1- (a+b+1)/(a^2+b^2+1) }
この部分の変形はどのようにやったのかが
わからなかったので教えていただけないでしょうか？

回答No.5

noname#157574

質問者さん
b，p は添付画像のように書きましょう。

回答No.4

naniwacchi

#3です。

＞自分数学は2Bまでしかやっておりませんので
＞分数関数は全くわかりません。

＞つまりこの問題は2Bまでの範囲では
＞解けないと言うことですよね？

いえ、計算自体は普通の分数の計算ですよ。
「分数関数」という言葉だけで拒否反応が出ているようですが・・・

分子に a^2+ b^2+ 1を作ったら 「+1」を付けたしているので、
後で -1しているだけです。

お礼

ほんとに何度もありがとうございます(>_<)
難しく考え過ぎていました。
もともと数学には苦手意識があって
簡単なことでも難しく考えてしまう癖が…

これでスッキリ解決しました！
この度はほんとうにありがとうございました！

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞p＝ 2* { a^2+ b^2- (a+ b) }/(a^2+ b^2+ 1)＝ 2* { 1- (a+b+1)/(a^2+b^2+1) }
分数関数の変形でよく使う形です。
たとえば、y＝ (x-3)/(x+1)という形から「帯分数の形にする」イメージで、
(x-3)/(x+1)
＝ { (x+1)-4 }/(x+1)
＝ 1- 4/(x+1)

という変形と同じです。

イメージをつかむ方法としては、一度右辺から逆に辿ってみてもいいかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
詳しい説明ありがたいのですが
自分数学は2Bまでしかやっておりませんので
分数関数は全くわかりません。

つまりこの問題は2Bまでの範囲では
解けないと言うことですよね？

何度も回答をいただいたのに申し訳ございません。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

1つ考慮が足りませんでした。
k≠ 0なので、p≠ 2も含める必要があります。

失礼しました。(^^ゞ