行列の応用問題

質問

・２点A,Bに対し点Pは線分ABを2:1に内分する点とする。fを線形変換とし、fによるA,B,Pの像をA',B,'P'としたとき、P'はA'B'を2:1に内分することを証明したいのですが、どのようにしていけばいいのかが分かりません。式の進め方や考え方を教えてください。
よろしくお願いします！（ｍ＿ｍ）

回答No.1

springside · ベストアンサー

ベクトルを使うと分かりやすいでしょう。
以下、ベクトルを表す矢印（→）は省略します。

線形変換とは、
　f(pOA+qOB)=pf(OA)+qf(OB) （p,qは定数。OA,OBはベクトル）
ということができるということで、言葉を換えると、
　・中の足し算を外に出せる
　・中の係数を外に出せる
という２つの性質を持っているということです。

原点をOとすると、
OP=(1/3)OA + (2/3)OBであるから、
OP'=f(OP)
=f( (1/3)OA+(2/3)OB )
=f( (1/3)OA ) + f( (2/3)OB )　（∵fは線形変換だから）←中の足し算を外に出せるということ
=(1/3)f(OA) + (2/3)f(OB)　（∵fは線形変換だから）←中の係数を外に出せるということということ
=(1/3)OA' + (2/3)OB'

よって、P'は、A'B'を2:1に内分する。