問題

質問

数学の問題です。(１)はわかるのですが、(２)がいまいちわかりません教えてください
(１)ｙ＝｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のグラフをかけ。
(２)方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
出来れば図もかいて、わかりやすく説明してくれたらうれしいです。

回答No.4

yyssaa

(１)でのグラフは
２≦ｘでｙ＝２ｘ－１：点(0,-1)と点(2,3)を通る直線
－１≦ｘ＜２でｙ＝３：点(0,3)を通るx軸に平行な直線
ｘ＜－１でｙ＝－２ｘ＋１：点(0,1)と点(1,-1)を通る直線
になっていますか？

(２)方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在する
ということは、同じxの値でy=｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のyの値と
y=axのyの値が等しくなるxが存在するということです。
言い換えれば、y=｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のグラフとｙ＝axの
グラフが交わるということです。
そためのaの値の範囲を求めるのが(2)の問題です。
まず、2≦xでｙ=2x-1とy=axの連立方程式を解きます。
ax=2x-1
(a-2)x=-1
x=-1/(a-2)≧2・・・(ア)
a-2＞0の時(ア)式は
-1≧2(a-2)となり
-1≧2a-4
4-1≧2a
3/2≧aとなりますが、ここではa-2＞0を条件としているので、
3/2≧aは答えになりません。
a-2＜0の時(ア)式は
-1≦2(a-2)となり
-1/2≦a-2
2-1/2≦a
3/2≦aとなり、a-2＜0の条件と合わせて3/2≦a＜2・・・(1)
が答えの一つになります。
次に、-1≦x＜2でy=3とy=axの連立方程式を解きます。
3=ax
3/a=x
-1≦x=3/a＜2・・・(イ)
a＞0の時(イ)式は
-a≦3＜2aとなり
a≧-3かつa＞3/2とa＞0の条件を合わせてa＞3/2・・・(2)
が答えの一つとなります。
a＜0の時(イ)式は
-a≧3＞2aとなり
a≦-3かつa＜3/2とa＜0の条件と合わせてからa≦-3・・・(3)
が答えの一つとなります。
最後に、x＜-1でy=-2x+1とy=axの連立方程式を解きます。
ax=-2x+1
(a+2)x=1
x=1/(a+2)＜-1・・・(ウ)
a+2＞0の時(ウ)式は
1＜-(a+2)
a+2＜-1
a＜-3となりますが、a+2＞0を条件としているので、a＜-3は
答えになりません。
a+2＜0の時(ウ)式は
1＞-(a+2)となり
a+2＞-1
a＞-3となり、a+2＜0の条件と合わせて-3＜a＜-2・・・(4)
が答えの一つとなります。
以上の答えをまとめて書くと
3/2≦a＜2・・・(1)
a＞3/2・・・(2)
a≦-3・・・(3)
-3＜a＜-2・・・(4)
となり、
a＞3/2・・・(2)が条件に合っているので3/2≦a＜2・・・(1)と
合わせて3/2≦aが答えの一つになり、
a≦-3・・・(3)と-3＜a＜-2・・・(4)からa＜-2が答えの一つに
なるので、
方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在するような
定数aの値の範囲は、3/2≦aとa＜-2になります。

回答No.3

ferien

>数学の問題です。(１)はわかるのですが、(２)がいまいちわかりません教えてください
>(１)ｙ＝｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜のグラフをかけ。

ｘ＜－１のとき、ｙ＝－２ｘ＋１……（ア）
－１≦ｘ＜２のとき、ｙ＝３……（イ）
２≦ｘのとき、ｙ＝２ｘ－１……（ウ）

>(２)方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝axを満たすxが存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
>出来れば図もかいて、わかりやすく説明してくれたらうれしいです。

ｙ＝ａｘと（１）の式の交点のｘ座標を求めて、それぞれのｘの範囲から、ａの値の範囲を求めます。

（ア）より
ａｘ＝－２ｘ＋１
（ａ＋２）ｘ＝１　ａは－２でないとすると、
ｘ＝１／（ａ＋２）　これを　ｘ＜－１　に代入して、
１／（ａ＋２）＜－１

ａ＋２＞０　ａ＞－２　のとき、
１＜－（ａ＋２）
ａ＜－３　これはａ＞－２の範囲にないので適さない。

ａ＋２＜０　ａ＜－２のとき、不等号の向きが変わります。
１＞－（ａ＋２）
ａ＞－３　これはａ＜－２の範囲にあるので適する。
共通部分は、（ａは－２でないも考慮して）
－３＜ａ＜－２　……（１）
※ａ＋２が負のとき不等号の向きがかわるので、２通りに場合分けが必要

（イ）より、－１≦ｘ＜２
ａｘ＝３　ａは０でないとすると、
ｘ＝３／ａ　これを　－１≦ｘ＜２　に代入する
－１≦ｘのとき、－１≦３／ａ
ａ＞０のとき、
－ａ≦３
ａ≧－３　これはａ＞０に適さない。（範囲外になるところもある）
ａ＜０のとき、
－ａ≧３
ａ≦－３　これはａ＜０に適する。
共通部分は、ａ≦－３　……（２）

ｘ＜２のとき、３／ａ＜２
ａ＞０のとき、
３＜２ａ
３／２＜ａ　これはａ＞０に適する。
共通部分は、３／２＜ａ　……（３）
ａ＜０のとき、
３＞２ａ
３／２＞ａ　これはａ＜０に適さない。（範囲外になるところもある）

（ウ）より、
ａｘ＝２ｘ－１
（ａ－２）ｘ＝－１　ａは２でないとすると、
ｘ＝１／（２－ａ）　これを２≦ｘに代入して、
２≦１／（２－ａ）

２－ａ＞０　ａ＜２のとき、
２（２－ａ）≦１
ａ≧３／２　これはａ＜２に適する。
共通部分は、３／２≦ａ＜２　……（４）

２－ａ＜０　ａ＞２のとき
２（２－ａ）≧１
ａ≦３／２　これはａ＞２に適さない。

（１）～（４）を整理すると、ｙ＝ａｘは、
ａ≦－３のとき、右下がりのグラフで、ｙ＝３と交わる。
－３＜ａ＜－２のとき、右下がりのグラフで、ｙ＝－２ｘ＋１と交わる。
３／２≦ａ＜２のとき、右上がりのグラフで、ｙ＝２ｘ－１と交わる。
２＜ａのとき、右上がりのグラフで、ｙ＝３と交わる。

実際にグラフを描いてみると、ａの範囲によって、直線の様子が上のようになっています。

回答No.2

banakona

（１）は分かったということなので、下図の黒いグラフのＡ，Ｂの意味は分かりますね？

方程式｜ｘ＋１｜＋｜x－２｜＝ax　を満たすｘがあるとは、原点Ｏを通るグラフ（ｙ＝ａｘ）と黒いグラフが共通点を持つということ。

ａ≧０　つまりｙ＝ａｘが水平か右肩上がりのときは赤い直線がＡを通るときがａの最小値。そこからａをいくらでも大きくできる。

ａ＜０のとき　つまりｙ＝ａｘが右肩下がりのときは青い直線がＢを通るときよりも更に緩やかにしても青いグラフと黒いグラフは共通点を持つ。青いグラフの傾きがＢＣの傾き（－２）よりも急であれば、両者はどこかで交わるｗ　この場合は　ａ＜－２　となり、ａ≦－２　ではないことに注意。

回答No.1

kumada-

(1)で場合分けすると、

　x<-1 　のとき y=-2x-1
　-1<=x<=2 のとき y=3
　2<=x　　　 のとき y=2x-1

でグラフを書きますよね。

(2)では、（１）のパターン別に計算します。

　x<-1 のとき
　 -2x-1=ax
　　(a+2)x=-1
　　　　　x=-1/(a+2)
ここで、x<-1なので、
　　-1/(a+2)<-1
ここで、a+2>0になる必要があるので、
　　a>-2

他の2つも同様にすれば、求まると思います。