二次関数の問題

質問

定数aは実数である。関数y=│x^2-2│とy=│2x^2+ax-1│のグラフの共通点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。

この問題を教えてください。絶対値の中の正負が同じとき、違うときに分けて方程式を２つにして、判別式を計算したんですが、そこから先の吟味の仕方がわかりません。簡易グラフも書いてみたんですが、いまいちピンとこなくて。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

どって事ない問題なんだが、方針を示しておく。

│x^2-2│=│2x^2+ax-1│　だから、2x^2+ax-1＝±(x^2-2)。
(1)　2x^2+ax-1＝(x^2-2)のとき、x≠0だから、a＝-(x＋1/x)。従って　y＝a　と　y＝-(x＋1/x)の交点の数を考える。当然、aの値によって分類される。
(2)　2x^2+ax-1＝(2-x^2)のとき、x≠0だから、a＝-3(x-1/x)だから、y＝a　と　y＝-3(x-1/x)の交点の数を考える。当然、aの値によって分類される。

但し、この問題の落とし穴は、(1)と(2)が共通解を持つときを考える必要がある事を見落としやすい事。
(1)と(2)の方程式を連立すると、√2*a＝-3　の時に共通解を持つから、その時は　共通点の個数を減らす事。
それさえ忘れなければ、他愛もない問題。

結果を纏める事くらいは、自分で出来るだろう。

回答No.3

mister_moonlight

＃2の書き込みで。

＞(1)　2x^2+ax-1＝(x^2-2)のとき、x≠0だから、a＝-(x＋1/x)。従って　y＝a　と　y＝-(x＋1/x)の交点の数を考える。当然、aの値によって分類される。

グラフが面倒なら、単純に判別式を使えばよい。
判別式＞0なら解は2個、判別式＝0なら解は1個、判別式＜0なら解はなし。
これは、(2)の場合も同じ。

回答No.1

hrsmmhr

二つの二次関数は絶対値のプラスマイナスを考えると交点は
一方の絶対値を外した関数が+で他方のそれがが+と
一方が+他方が-の組み合わせでの交点以外に交点はあり得ません
従って最大４つで、しかもその絶対値を外した関数の値が+でなければ、絶対値を含んだ関数の交点ではないのです