正則関数のテイラー展開について

質問

複素領域における(sinz)/z　のテイラー展開(z=0での値は１と定める)ですが、sinzをそのままテイラー展開してzで割って求めてもいいのでしょうか？また、その根拠は何でしょうか？

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

sin(z)のTaylor展開をzで割った級数をW(z)と書くことにします。
W(z)はすべてのzの対して収束し、全平面で正則です。ここでW(0)=1に注意します。
更にsin(z)/zの定義からすべてのzに対してW(z)=sin(z)/zが成り立ちますから展開の一意性よりW(z)が求めるTaylor展開になります。

お礼

お礼が遅くなりましたが、ありがとうございました。非常に的を得た回答でよく理解できました。

回答No.1

noname#221368

正則関数のテーラー級数は、収束半径内では絶対収束したと思います。という事は、項別の微分や積分が許されるように、項別の１／ｚの演算も許されるはずで、これが根拠になりませんか？。ただし、割った結果が収束すれば、という条件は付きますが。

　そこで、ｚ＝0では少々検討が必要かも知れませんが、sinｚのテーラー展開が１次の項から始まる事を考えると、ｚで割って大丈夫と思います。極が現れませんので。

　さらに(sinｚ)／ｚの収束半径も、一応は見ておく必要がある事になります。しかしsinｚの収束半径は∞で、さっきの事から(sinｚ)／ｚのテーラー展開は|ｚ|≦1では収束するでしょうし、1＜|ｚ|についても、sinｚのテーラー展開より次数が一個落ちた事を考えると、収束すると思えます。(sinｚ)／ｚの収束半径も∞だろう、というのが、自分の「当たり（見当）」です。

お礼

お礼が遅くなりましたが、ありがとうございました。テイラー展開は奥が深いですね。