重力ポテンシャル 積分

質問

xz座標で質量mの物体をz軸上のA(0,+a)からA(0,-a)まで動かすとき(経路c)の重力の仕事量Wを求めます。
重力はz軸の負方向に働いています。
重力は
F = -mg・e_z (F,e_zはベクトル。e_zはz軸方向の単位ベクトル)
と表され、dr = dz・e_z (drはベクトル)であることに注意して(ただしdz<0)、
W = ∫[c]F・dr = -∫[a,-a]mgdz = 2mga
となります。

教えていただきたいのは"ただしdz<0"という部分です。
積分のdxみたいなのは微小量で正の数だと思っていたのですが、なぜこの場合dz<0となるのですか？
積分の微小量dxみたいなのはその正負が計算に影響するのですか？

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

仕事の定義、特に、その正負の符号の定め方が問題だからです。

力ベクトルと変位ベクトルとのなす角度をθとすると、仕事の定義は
　仕事＝"力ベクトル"と"変位ベクトル"との内積
です。今、
　力（重力）は、負の方向のベクトル
　変位は＋側から－側の向きへのベクトル
です。

　W = ∫[c]F・dr

この式は、
　力ベクトル（Ｆ）と、変位ベクトル（dｒ）との内積
という意味ですから、仕事の定義そのものを書いただけです。

ここでまず、力が負の向きのベクトルなので
　Ｆ＝－ｍｇ

変位　dｒ　は、負の向きですから、積分範囲を、{負の方向への変化として}ａ→（－ａ）としてやれば良いのです。
つまり、変位部分だけに注目すると
　∫[ａ,－ａ](…)・dｚ
とすれば良いのです。
ご質問に即して書くと…

>dr = dz・e_z (drはベクトル)であることに注意して(ただしdz<0)

変位　dｒ　は、明らかに負の向きのベクトルです。つまり
　dｒ<０
これは、ｅ_ｚ（単位ベクトル）と反対向きですから、当然
　dｚ<０
ということです。ただし、積分することを考えたときには、変位の微小変量 dｚ が
　＋ａ　→　－ａ
のように変化するということを意味しています。それは、積分で表記するときには
積分範囲を　[-a,+a]　とはしないで、[+a,-a]　と書くことに対応しているのです。

以上のことをまとめると
　W = ∫[c]F・dr
　＝∫[ａ,－ａ](－ｍｇ)・dｚ
　＝－∫[ａ,－ａ]ｍｇ・dｚ
と書ける、ということです。

お礼

なるほどよくわかりました。
dxとかはその積分が正負どちらに向かって行われるかということだったんですね。
もし無理にdrを正の向きにしたらその逆ってことで
-dr = -dz・e_z (dr>0,dz>0)
となり、積分範囲は[-a,a]になって
W = ∫[c]F・(-dr)
= ∫[-a,a](-mg)・(-dz)
= -∫[a,-a](-mg)・(-dz)
= ∫[a,-a](-mg)・dz
となるわけですか。
まだ完全には飲みこめてませんが、現状ではよくわかった気がします。
お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。そして丁寧なご回答をありがとうございました。