漸化式の問題です

質問

問題を解いたのですが、答えがなかったのでここで質問させていただきます。

・ｎを自然数とし、次の漸化式で二つの数列｛a[n]｝｛b[n]｝を定める。
a[1]=1 ,a[2]=1 ,a[n+2]=2a[n] (n=1,2,3……）
b[1]=1 ,b[2]=1 ,b[3]=1 ,b[n+3] (n=1,2,3……）

必要ならlog_10[2]=0.3010 log_10[3]=0.4771を用いよ。

（１）a[n+6]=8a[n]となることを示せ
（２）mを0以上の整数をとする、a[6m+1]とb[6m+1]をmを用いて表せ
（３）６で割った余りが１となるようなｎで、a[n]≧b[n]となるものをすべて求めよ
（４）６で割った余りが３となるようなんで、a[n]≧b[n]となるものをすべてを求めよ

以下自分の回答の要点です。

（１）問題文中のa[n+2]=2a[n]を繰り上げてa[n+4]=2a[n+2]として同様にｎ+６にして代入して解く
（２）a[6m+1]を初項a[7]かつ公比８の等比数列と考えて導き、ｍ＝０の時も成り立つ事を確かめる
b[6m+1]も同様に考える。
　　a[6m+1]=8^m ,b[6m+1]=9^m

（３）題意をを満たす不等式はa[6m+1]≧b[6m+1]ということなので
　　　8^m≧9^mということであり、これはm=0のときにのみ成り立つので
　　　n=1のときにのみ成り立つ

（４）a[6m+3]≧b[6m+3]と考えて
　　8^(m+2)≧9^(m+2)と考えると、題意を満たすｍは存在しないので
　　題意を満たすｎも存在しない。

注意書きにあるlog使用していなので、どこか方法を間違っていると思うのですが、わからないのでできれば解説もしていただけるとありがたいです。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#2です．

＞3mlog_10[2]≧9mlog_10[3]として計算するということでいいのでしょうか。
係数がちょっと間違っていますが，考え方は合っています．
m* { log(8) - log(9) }≧ 0という不等式になりますが，{　}の中が負にあることがわかれば
不等式は m＝ 0のときにのみ成立することが示せます．

(4)ですが，a[7]に対して a[10]はどうなっていますか？
また，b[7]に対して b[10]はどうなっていますか？
「6が 2と 3の公倍数であること」を巧みに利用しています．

書き下せば，答え自体はすぐにわかります．
あとは，それ以外にないことを計算で示すだけです．

お礼

ありがとうございます。
非常にわかりやすかったです。何度も回答していただき本当にありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

#1です．
b[n+3]= 3b[n]として考えてみました．

まず，この問題は漸化式で数列が表現されていますが，
具体的に書き下してみると群数列の色合いが強い問題になっています．
n= 1～15ぐらいまで，a[n]，b[n]を書き下してみるといいと思います．

与えられている logの値ですが，(3)と (4)で用いますよ．
(3)が m= 0のときしか満たさないのであれば，それを式で示す必要があります．
そのときに logの値を用います．
これは (4)も同様です．

(3)では不等式らしくない不等式が出てきますが，(4)では不等式が現れます．
で，(4)の a[6m+3]と b[6m+3]は間違っています．
書き下した数をよく見て考えてみて下さい．

お礼

(3)は8^m≧9^mをlog_10で対数をとって
3mlog_10[2]≧9mlog_10[3]として計算するということでいいのでしょうか。
(4)は完全に思考が固まってしまっているみたいで、どこが間違っているか見当がつきません。
お暇があればもう少しだけ教えていただけないでしょうか。

回答No.1

naniwacchi

b[n]の漸化式が途中で切れていますが，b[n+3]＝3b[n]ですか？

補足

はい、そうです。
申し訳ありません、打ち込み忘れてました。