漸化式

質問

三項間型の解き方がいまいちピンときません。
A1＝１、A2＝２，An+2＋３An＋1－４An＝０という問題です。本当はAの後ろの1および2は小さい1、2なのですが表記できませんでした。Anの後ろの+2、+1も同様です。分かりにくいですね・・。
簡単とは思いますが、解説をお願いします。明日テストなんです。ピンチです・・。

回答No.8

nubou

An＝１+(３)^ｎ-１／2となりましたがどうでしょうか？かなり補足が遅れてしまいました。間違っているかもしれませんので、解答を宜しくお願いします。：

必ずしも一般項が漸化式より優れていることはなくコンピュータでは漸化式がいいのです

答え合わせは簡単で漸化式に次々に代入すればいいのです
Ａ［ｎ＋２］＝４・（Ａ［ｎ＋１］－Ａ［ｎ］）＋１ですから

Ａ［１］＝１（初期条件）
Ａ［２］＝２（初期条件）
Ａ［３］＝５
Ａ［４］＝１３
Ａ［５］＝３３
Ａ［６］＝８１

になっていますか？
なっていなければ間違っていますね

回答No.7

nubou

Ａ［１］＝１，Ａ［２］＝２，
自然数ｎについて　Ａ［ｎ＋２］－４・Ａ［ｎ＋１］＋４・Ａ［ｎ］＝１

の解について理解を確認するために補足に回答してください

補足

An＝１+(３)^ｎ-１／2となりましたがどうでしょうか？かなり補足が遅れてしまいました。間違っているかもしれませんので、解答を宜しくお願いします。

回答No.6

fushigichan

おはようございます。
今日テストということで、もう遅いかな・・

An+2 + 3An+1 -4An =0
An+2 - An+1 =-4An+1 +4An
An+2 - An+1 =(-4)(An+1 -An)
となりますから、数列An+1 -An=Bnとおくと、Ｂｎは
初項B1=A2-A1=2-1=1 公比(-4)の等比数列である。
よって、An-A1=Bn +Bn-1 +・・・+B1
An=Bn +Bn-1 +・・・+B1 +1
このことから、計算できると思います。

テストうまくいくといいですね。がんばってください。

回答No.5

hinebot

#4です。計算間違いしてました。
>A[n+1]+4A[n]=1^(n-1)(A[2]+4A[1]) = 5
これは、5ではなく6ですね。
以下、
下の式－上の式より
5A[n] = 6-(-4)^(n-1) ∴A[n] = {6-(-4)^(n-1)}/5
でした。

お礼

このやり方は学校で習いませんでした。こんなに簡単な方法があるなんて知りませんでした！明日のテストで使おうと思います。丁寧な回答をどうも有難うございました！！

回答No.4

hinebot

添え字を[]で囲んで表記します。
A[1]=1,A[2]=2,A[n+2]+3A[n+1]-4A[n]=0
でいいですね。
A[n+1]とA[n]の係数に着目して、足して-3,掛けて-4になる2数を考えると
-4,1ですね。
すると
A[n+2]-A[n+1] = -4(A[n+1]-A[n])
A[n+2]+4A[n+1] = A[n+1]+4A[n]
と書けます。
あとは、等比数列の公式から
A[n+1]-A[n] =(-4)^(n-1)(A[2]-A[1])=(-4)^(n-1)
A[n+1]+4A[n]=1^(n-1)(A[2]+4A[1]) = 5
下の式－上の式より
5A[n] = 5-(-4)^(n-1) ∴A[n] = 1-{(-4)^(n-1)}/5

回答No.2

finalanswer

便宜上、以下では配列を{A[n]}という表記とします。

A[n+2]+3A[n+1]-4A[n] = 0 から
A[n+2]-αA[n+1] = β(A[n+1]-αA[n])
となるような実数α、βを求めます。
α+β = -3、αβ = -4 より (α,β) = (1,-4),(-4,1)
A[n+2]-A[n+1] = -4(A[n+1]-A[n]) より A[n+1]-A[n] = (-4)^(n-1)
A[n+2]+4A[n+1] = A[n+1]+4A[n] より A[n+1]+4A[n] = 6
よって A[n] = (6-(-4)^(n-1))/5

間違っているかもしれませんので、ご確認下さい。

回答No.3

siegmund

見やすくするため，A[n] などと書くことにして
(1)　　A[n+2] + 3 A[n+1] - 4 A[n] = 0
というわけですね．
ちょっと変形して
(2)　　{A[n+2] - A[n+1]} + 4 {A[n+1] - A[n]} = 0
となるので，
(3)　　B[n] = A[n+1] - A[n]
とおくと，(2)は
(4)　　B[n+1] = - 4 B[n]
ということですから，B[n] は公比 -4 の等比数列，
初項は B[1] = A[2] - A[1] = 1．
したがって， B[n] の一般形はわかりました(お任せします)．

あとは A[n] に戻せばよい．

A[n]　 - A[n-1] = B[n-1]
A[n-1] - A[n-2] = B[n-2]
A[n-2] - A[n-3] = B[n-3]
・・・・・・・・・・・・・・・
A[3]　 - A[2]　 = B[2]
A[2]　 - A[1]　 = B[1]

の辺々の和を取ると，左辺は A[n] - A[1] (項のキャンセルに注意)，
右辺は等比数列の和の形ですから，すぐわかりますね．

あとはお任せします．
ミスタイプなどあるかも知れませんから，チェックもよろしく．

回答No.1

ryumu

おそらく、解き方は書いてあるのでしょうから、考え方だけを。

一般に三項間漸化式は、

　An+2 + aAn+1 + bAn = 0 　　・・・（＊）

　　　 ＝＞　　An+2 - αAn+1　＝　β（An+1 - αAn）　　・・・（＊＊）

という形式にしたいのです。こうすると、

　　An+1 - αAn　＝　Bn　　（B1 = A2 - αA1 ）

と置くことにより、

　（＊＊）　＝＞　Bn+1　＝βBn　　・・・（＊＊＊）

という、単なる等比数列の問題になります。
従って、これを満たすαとβを求めればよいことになります。
ここで、（＊）と（＊＊）を比較すると、

　a＝ -（α＋β）、b=αβ

となります。
さて、ここでαとβを求めるには・・・・

　（ｔ-α）（ｔ-β）＝０

　　＝＞　ｔ＾２　+　aｔ　+　b　=　０

を説けばいいということになります。

・・・もしかして、ここから先が問題だったりして？

（＊＊＊）から、

　　Bn = β＾（n-1）B1　　

となります（ちなみに、「Ｘ＾ａ」は、Ｘのａ乗を示す）。
これより、

　An+1 - αAn = β＾（n-1）B1　　・・・（＃）

となります。
ここで、= β＾（n-1）が邪魔ですが、
両辺を、β＾（n+1）で割り（別に、β＾nでも、β＾（n-1）でもよいのですが、面倒なのでβ＾（n+1）にしました）、

　An/（β＾n）＝Cn

と置くことにより、

　（＃）＝＞　Cn+1　-　（α/β）Cn ＝　B1/β^2　＝定数

となり、通常の二項間漸化式になります。

・・・細かい計算が間違ってるかも知れませんが、考え方を参考までに。

お礼

参考にして頑張って解こうと思います！