複素数

質問

I=∫ｃ（z-sinz)/(1-cosz)^2dz c：|z|=1
Iを求めよ。
という問題で、どうやれば解けるのかがわからなくて（特異点はz=0であると思うのですが、留数の求め方がわかりません）困ってます。わかる方がいらっしゃいましたらお願いします。
解は4πi/3です。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

1-cos(z)=0 ∴z=2nπ（nは整数）
積分路は半径1の円なので円内の一位の特異点は x=0のみなので
x=0における留数は以下の計算で求まります。
Res(0)=lim[z→0] z(z-sin(z))/(1-cos(z))^2
　=lim[z→0] z(z-sin(z))/(2sin^2 (z/2))^2
　=lim[z→0] z(z-sin(z))/{4(z/2)^4*(sin(z/2)/(z/2))^4}
=lim[z→0] z(z-sin(z))/{4(z/2)^4}
=lim[z→0] 4(z-sin(z))/z^3
=lim[z→0] 4(1-cos(z))/(3z^2) (∵ロピタルの定理適用)
=lim[z→0] 4sin(z)/(6z) (∵ロピタルの定理適用)
=(2/3)lim[z→0] sin(z)/z
=2/3
留数定理より
I=2πi*Res(0)=4πi/3

お礼

とてもわかりやすかったです。ありがとうございます！

回答No.3

noname#152422

1-cos(z)=(z^2)f(z)
z-sin(z)=(z^3)g(z)

としたとき、

g(z)/(f(z)^2)が原点の近傍で正則であることとからコーシーの積分公式が使えます。

お礼

ありがとうございます！参考にさせていただきます。

回答No.1

Tacosan

分子と分母をマクローリン展開すればいいと思う.

お礼

ありがとうございます。参考にさせていただきます。