次の積分の解き方が分かりません

質問

2問あります。これはコーシーの積分表示で解を出すと思うのですが

Cは円|z|=2とする
(1)∫c (sinz)/(6z-π) dz

(2)∫c (z^4+z^3)/(z+1)^3 dz

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

Cは円|z|=2とする
(1)
I=∫c (sinz)/(6z-π) dz=∫c (sinz/6)/(z-π/6) dz=∫c f(z)/(z-π/6) dz
f(z)=sin(z)/6はCを含む領域で正則なのでf(z)/(z-π/6)のC内の一位の特異点はz=π/6のみであることから
コーシーの積分表示を用いて
I=2πif(π/6)=2πisin(π/6)/6=πi/6

(2)
I=∫c (z^4+z^3)/(z+1)^3 dz=∫c (z^3)/(z+1)^2 dz
Res{(z^3)/(z+1)^2,z=-1}=lim(z→-1){d(z^3)/dz}
=lim(z→-1) 3z^2 =3
留数定理より
I=2πi×3=6πi