解き方を教えてください

質問

自分で解いたのがあってるかわからないので教えてください。
よろしくお願いします。

１　次の関数の孤立特異点における留数を求める
　　　ｆ(z)=ｚ＋ｉ／　ｚ^２－２ｚ+２

1　ｃ：｜ｚ－１｜=２の時、次の積分の値は？
　　積分路は反時計回りとする。

　　∫ｃ（sinｚ／ｚ^２-４）ｄｚ　（ｚ^２-４は分母・sinｚは分子です）

　よろしくお願いします。

回答No.2

noname#232123 · ベストアンサー

まず、数式は正しく書いてください。
f(z)=(z+i)/(z^2-2z+2) と解釈します。
f(z)の極は、z=1±i で、
z=1+i におけるf(z)の留数は、
Res(f, 1+i)=lim[z to 1+i](z-(1+i))*f(z)=lim(z+i)/{z-(1-i)}=1 - i/2.
Res(f, 1-i) の計算も同様。
2) f(z)=sinz/{z^2 - 4} とします。
Cの内部にあるf(z)の極は、z=2 だけであり、Res(f, 2)=(1/4)*sin(2). よって、積分の値は、
2pi*i*Res(f,2)=(pi*i/2)*sin(2).

回答No.1

info222_

>自分で解いたのがあってるかわからないので教えてください。
解いたのであれば解答を書いてください。
書いてくれないと誤り箇所をチェックできません。

>１　次の関数の孤立特異点における留数を求める
>　　　ｆ(z)=(ｚ＋ｉ)／(ｚ^２-2ｚ+２)
孤立特異点：z^2-2z+2=0, z=1±i
z=1+iにおける留数Res(1+i)=(z+i)/(z-1+i)|(z=1+i)=(1+2i)/(2i)=1-i /2
z=1-iにおける留数Res(1-i)=(z+i)/(z-1-i)|(z=1-i)=1/(-2i)= i /2
>2　ｃ：｜ｚ－１｜=２の時、次の積分の値は？
>　　積分路は反時計回りとする。
積分路C:z=1を中心とする半径2の円周

>　　∫ｃ sin(z)／(z^2-4) dz

sin(z)／(z^2-4) =f(z)
孤立特異点：z^2-4=(z+2)(z-2)=0 → z=±2
積分路C内の孤立特異点はz=2のみ。
Res(2)=sin(z)/(z+2)|(z=2)=sin(2)/4
∫ｃ sin(z)／(z^2-4) dz
=2πi*Res(2)= sin(2)/4
= i πsin(2)/2 ...(答)

お礼

ありがとうございます