扇形の作図の計算方法を教えてください

質問

展開図で扇形（バームクーヘンの一部を切り取ったような形？）に当たる部分の作図手順、計算式や方法などがありましたら、お教えいただけませんでしょうか。
わかっているのは、図にある数値のみです。
小学校高学年の子供に教えられるようなレベルでの回答を希望します。
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.7

alice_44

今更ですが、訂正です。
下底 ≒ 90cm × 2 × 3.14 × 18 / 360
スミマセン。

回答No.6

alice_44

その台形の上底、下底、高さは、無理数です。
無理数と言っても代数的無理数ですから、
作図は可能なのですが、小学生に教えるには、
平方根とは何かから説明しなくてはなりません。
近似値でよいのであれば、中心角が小さいと
扇形の弧長と弦長はほぼ同じくらいなので、
下底を 90cm×2×18゜/360゜で近似すればよい。
円の面積の公式を説明するとき教科書に出てくる
アノ図を思い出しましょう。
円をミカンの房のように分割する例のアレです。
下底の両端から角度 90-9゜の斜辺を書いて、
斜辺上に端点から 10cm を測れば、上底の両端も
決めることができます。

お礼

台形の作図方法について、ご回答ありがとうございます。

やっぱりコンパス状の物を使うことになりましたが、
おかげさまで、なんとか作図ができました。
重ね重ね、御礼申し上げます。

回答No.5

noname#152422

4番です。

> 台形をベースに作図するのは難しいのでしょうか？

> 上辺の中心点からはみ出る弧の高さ、
> 同様に下辺中心点からはみ出る弧の高さがわかれば、

円を描かずに作図するのは、理論的には、難しいというより不可能にみえます。
根性があればそれに近い「らしい」ものは作図できますがお勧めできません。

具体的には添付の図で帯状領域ENGIPMを最終的に作図したいとして、「最初に台形EGIM（高さOQ=10cm、上底≒24.7cm、下底≒27.8cm）をまず描いたらどうか？」ということだと思います。

あくまで円を描かずにその台形をベースにしようとすると、以下の手順が考えられます。

まず、

・MIの中点QとEOの中点Oを決定し、QとOを通る直線Rを引く
・QからR上のOにあるほうの向きに80×(1-cos18°)だけ離れたところの点をPとする
・OからR上のQとは反対向きに90×(1-cos18°)だけ離れたところの点をNとする

という手順によって、弧MPIの中点、弧ENGの中点の位置が決まります。
同じ手順を台形MENP（上底=MP、下底=NE）、および台形IPNG（上程=IP、下底=GN）に対して実行し、弧MPIを4等分する点の位置が決まります。

このようにして次々に小さい台形を作っては点を決めていけば、（ペン先の太さ）×（プロットする点の数）＝（二つの弧の長さの合計）、となるほど沢山の数の点をプロットしていっていつかは両方の円弧が描きあがるでしょう。しかし、それはうんざりするほど大変であり、少しずつずれていって最終的にいびつな円弧になったり、絵が汚くなったりでうまくいかないと思います。

そもそも三角関数を計算しなきゃならないわけですし。

お礼

図での説明はとてもわかりやすかったです。
なるほど…。
確かに台形を使ったものは、かなり困難なようですね。
回答を拝見して理解できました。
詳細なご回答、本当にありがとうございました。

補足

コンパス状の物を作り、おかげさまで、なんとか作図できました。

ちなみに、角度Ａを18度づつ（合計36度？）で取ったら、
円周が２周分ありました。なぜかそうなってしまったのです…＾＾；

重ね重ね、御礼申し上げます。
ご回答いただき、本当にありがとうございました。

回答No.4

noname#152422

一番の難点は、直径８０ｃｍや直径９０ｃｍの円をどう描くかですね。

ふつうのコンパスだと無理。黒板で使うような大きいコンパスだと描けるかも。
それでも無理なら糸と画鋲を用意してコンパス様のものを作らないと。

大きい方の弧は直径９０ｃｍの円周の１０分の１だから３６度ですが、端から端までの距離が約２７．８ｃｍ、小さい方の弧は直径８０ｃｍの円周については約２４．７ｃｍであることを考えて、

・中心Aにコンパスの針をおき、直径９０ｃｍの円周Bを描く
・Aを中心とする直径８０ｃｍの円周Cを描く
・Aからそれら二つの円周を突き抜けるような直線Dを引く
・円周Bと直線Dとの交点Eを中心にして半径２７．８ｃｍの円周Fを描く
・円周Fと円周Bの交点GとAとを通る直線Hを引く
・直線Hと円周Cとの交点をIとする
・直線Hに平行で、Hとの距離が３ｃｍでEから遠い方の位置に直線Jを引く
・直線Jと円周B、Cとの交点をそれぞれK、Lとする
・直線Dと円周Cとの交点をMとする
・カッターを使って帯状領域EKLMを切り取る
・帯状領域IGKLはのりしろ用

お礼

お礼が遅くなりすみませんでした。
丁寧に作図方法を教えてくださって、ありがとうございました。
展開図だけでなく、工作としての手順もあって、
とても参考になりました。
皆さんの回答を参考に、うまく取り入れて作ってみたいと思います。

【追記】
台形をベースに作図するのは難しいのでしょうか？
上下の辺の長さの数値と高さ（これは10cmで良い？）、
台形の斜角度、上辺の中心点からはみ出る弧の高さ、
同様に下辺中心点からはみ出る弧の高さがわかれば、
もう少し簡単に作図できそうな気がするのですが…。
きっと複雑な計算式が必要になるのでしょうね…＾＾；

回答No.3

alice_44

おっと、失礼。

半径９０cmの扇形の弧長と半径４．５cmの円周が一致することから、
扇形の中心角は ３６０°÷(９０÷４．５) ＝ １８° だった。

お礼

お礼が遅くなりすみませんでした。
ご回答、ありがとうございます。
小学生には少々難しかったようで、
説明する私の方が知識不足で補えませんでしたが、
しても勉強になりましたし、参考になりました。

【追記】
台形をベースに作図するのは難しいのでしょうか？
上下の辺の長さの数値と高さ（これは10cmで良い？）、
台形の斜角度、上辺の中心点からはみ出る弧の高さ、
同様に下辺中心点からはみ出る弧の高さがわかれば、
もう少し簡単に作図できそうな気がするのですが…。
きっと複雑な計算式が必要になるのでしょうね…＾＾；

回答No.2

alice_44

展開図の赤い線分を延長して、交点を描くと考え易い。

赤い図形の円弧の半径が９０cmと８０cmであることは、
相似を説明するまでもなく、直観で発見できると思う。

あとは、半径９０cmの扇形の弧長と半径９cmの円周が
一致することから、扇形の中心角が３６０°/１０で
あることを理解すればいい。
これは円錐を扱う定石だから、丁寧に説明しておくべき。

３６°をどうやって作図するか？となると、やや
レベルが上がってしまう。小学生なら、分度器で測ろう。

回答No.1

masssyu

申し訳ありませんが、私では小学生のレベルで解けませんでした。

一応、今持っている知識で作図してみました。
参考にしていただければ光栄です。

図がなくて申し訳ありませんが、ご了承ください。

９ｃｍに接している点を接点１、８ｃｍに接している点を接点２とします。

展開図より、直径９ｃｍに接している曲線ですが、半径９０ｃｍの円の１６２° 分の弧です。

なので、接点１から９０ｃｍ離れた地点から接点を中心に８１° 分ずつ描きます。

次に、直径８ｃｍに接している曲線ですが、半径８０ｃｍの円の１４４°分の弧です。

なので、接点１から１０ｃｍ離し接点２と決め、

接点２から８０ｃｍ離れた地点から接点を中心に７２° 分ずつ描きます。

最後に両方の弧同士の端を結び、８ｃｍと９ｃｍの円を描いて完成です。

小学生のレベルで作図できずにすいません。

お礼

お礼が遅くなってすみません。
丁寧な作図説明をありがとうございます。
他の回答者の方々の説明でもありましたが、
なぜ各々の「弧を描く円の半径」が80cmと90cmになるのか、
今ひとつ理解できていませんが、取りあえずなんとか頑張ってみようと思いました。

【追記】
台形をベースに作図するのは難しいのでしょうか？
上下の辺の長さの数値と高さ（これは10cmで良い？）、
台形の斜角度、上辺の中心点からはみ出る弧の高さ、
同様に下辺中心点からはみ出る弧の高さがわかれば、
もう少し簡単に作図できそうな気がするのですが…。
きっと複雑な計算式が必要になるのでしょうね…＾＾；