微分方程式の解

質問

x"+x'=0 x(-1)=1 x'(-1)=3の解の求め方を教えてください。

回答No.3

gtmrk · ベストアンサー

こんばんは。

これも前回お答えしたものとアプローチの仕方は全く一緒です。
こーゆー問題にも対応できるように、
前回あえて演算子を展開して解いたのですから＾＾

関連づけて考えることが重要ですよ。
そうすれば自然と自力で解けるようになるはずです。

########

まずは

　(1)　　x(t) = exp(λt)

と置くのでした。そして方程式に代入します。すると、

　(2)　　λ^2 exp(λt) + λ exp(λt) = 0

です。指数関数部は割ってしまえるので、

　(3)　　λ^2 + λ = 0

これがこの微分方程式の【特性方程式】です。
これを解くと、

　(4)　　λ (λ + 1) = 0
　　　　　　⇔　λ = 0, -1

となりますね。この前の問題では λ が重解になりましたが、
今回は２つの実数解です。実はこちらの方が簡単なのです。
何故かわかりますか？

『２階』線形微分方程式の『基本解』は『２つある』のでしたね。
そう、この２つの λ を(1)式にそれぞれ代入したものが、
そのまま２つの基本解になるのです。すなわち

　(5)　　x(t) = exp(0t) = 1
　(6)　　x(t) = exp(-t)

は２つの基本解であるということです。
『一般解』はこれらの『線形結合』になるのでした。
すなわち A, B を任意定数として、

　(7)　　x(t) = A + B exp(-t)

ということになります。代入確認出来ましたか？
いかがでしょうか。全く同じじゃん、と思えたでしょうか。

さて、今回は続きがあります。
そう、適当においた定数 A, B をちゃんと決めるのです。
それに必要なアイテムが【初期条件】です。今、

　(8)　　x(-1) = 1

という条件が与えられています。
これを(7)式に当てはめてみましょう。

　(9)　　x(-1) = A + B exp(1) = 1
　　　　　　⇔　A + Be = 1

これだけじゃ、にっちもさっちもいきませんよね。
そこでもう一つ、

　(10)　　x'(-1) = 3

という条件を使ってやりましょう。
(7)式を t で微分して、(10)を当てはめてみます。

　(11)　　x'(-1) = -B exp(1) = 3
　　　　　　⇔　-Be = 3
　　　　　　⇔　B = -3/e

うまいこと B が求まりましたね。これを(9)に代入すれば、

　(12)　　A = 4

となります。適当においたはずの A, B がちゃんと決まりました。
これが初期条件の使い方です。というわけで、解は

　(13)　　x(t) = 4 - 3/e exp(-t) = 4 - 3 exp(-t-1)

と一意に決まります。
1/e = exp(-1) をまとめていることに注意して下さい。

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いかがでしょうか。
初見だから解けねーや、と一蹴してしまうのではなく、
前に習ったテクニックが何か使えんかなーと試行錯誤しているうちに
基礎は自然と身についてくるものです。
頑張って下さいね。

ちなみに
なんとなくお気づきかと思いますが、特性方程式を作るには
演算子を全てある１文字に置き換えてしまえばいいだけです。

これに慣れてしまえば、
No.1, 2 の方々のように一瞬で解けてしまうのです。
しかし、今は表面をなぞるだけではなく、
意味をよく理解して頂きたいのです。

ではでは。

お礼

ご回答ありがとうございました。(6)まではできたのですが。

回答No.4

alice_44

x'=y と置くと、問題の微分方程式は
y'=-y と書けますね。
この y'=ay (ここでは a=-1) という方程式は、
線型微分方程式を特性方程式経由で解く
解法の源泉です。

y'=y の解を指数関数 y=exp(t) と
定義することで、斉次線型微分方程式が、
例の解法で解けるようになるのです。

y'=ay なら、y=exp(at) ですね。
この解は、u=at と置換することで導けます。
x' が判ったら、積分すれば x が出ます。

お礼

ご回答ありがとうございました。わかりました。

回答No.2

okormazd

たぶん、もっとも簡単な定数係数斉次線形微分方程式の初期値問題というのでしょう。
この解き方はいくつかありますが、機械的に解けるのは、特性方程式を使うものでしょう。
特性方程式
s^2+s=s(s+1)=0
で、
s=0,-1
だから、
一般解は、
x(t)=C1+C2・e^(-t)
でしょう。
で、
x(-1)=C1+C2・e^1=C1+C2・e=1・・・(1)
x'=-C2・e^(-t)
だから、
x'(-1)=-C2・e^1=3・・・(2)
で、C2=-3/e
だから、
C1=4
よって、
x(t)=4-+3/e・e(-t)=4-3・e^(-t-1)
でしょう。

どうして、これていいのかは説明が面倒になるので自分で勉強してください。

または、
x'=u
とでもおいて
u'+u=0
を
変数分離して2回積分する。

お礼

ご回答ありがとうございました。わかりました。

回答No.1

ONEONE

特性方程式α^2 + α = 0の解α = 0, -1より
x(t) = C1 + C2e^(-t)
x(-1) = 1, x'(-1) = 3よりC1, C2を求める。

PS: 数式の区切りはコンマを使うのが良いですよ。

お礼

ご回答ありがとうございました。わかりました。