微分方程式の問題です。特殊解を教えて下さい。

質問

微分方程式

X^2*Y" - 5X*Y' + 8Y = e^x

この余関数は

CX＾２ ＋ CX＾4

ですが、特殊解が分りませんので教えて下さい。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

Y = AX^2 + BX^4 でもよいが、
Y = AX^2 のほうが簡単な気がする。

これを (X^2)Y'' - 5XY' + 8Y = e^X へ代入すると、
(A'')X^4 - (A')X^3 = e^X を経て
(A'')X^-1 + (A')(-X^-2) = (e^X)X^-5 と変形される。

両辺積分して、(A')X^-1 = ∫{ (e^X)X^-5 }dX + (C1) より
A' = X∫{ (e^X)X^-5 }dX + (C1)X.
再度積分して、A = ∫{ X∫{ (e^X)X^-5 }dX }dX + (C1)(1/2)X^2 + (C2).
よって、Y = (X^2)∫{ X∫{ (e^X)X^-5 }dX }dX + (C1)(1/2)X^4 + (C2)X^2.

積分定数 C1, C2 は、適当に別の文字で置き換えてもよい。

回答No.3

noname#130496

そうですね。
#2の方がずっと簡単でいいと思います。

回答No.1

noname#130496

質問者の方針と合っているか分かりませんが、定数変化法はやってみましたか。
Y(X)=A(X)X^2+B(X)X^4の形でA'(X)X^2+B'(X)X^4=0を満たす解を求めることができると思います。