三角関数 解の個数 定数分離

質問

「与えられた正の実数aに対して、0≦ｘ＜2πの範囲で
sin3x-2sin2x+(2-a^2)sinx=0
はいくつ解をもつか調べよ。」
この問題を解いています。
3倍角と2倍角の公式を用いて変形し、
-4(sinx)^3+5sinx-4sinxcosx=a^2sinx
となって両辺をsinｘで割ろうと思ったのですがこの場合sinx＝０の時も考えるのでしょうか？
また、もしsinxで両辺を割ってcosの式に統一したとすると定数がa^2となるのですが、それでも個数を調べることはできるのでしょうか？
解答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

>両辺をsinｘで割ろうと思ったのですが

それは仰るようにsinx=0の場合を等閑視するので良くないです。移項して因数分解しましょう。
sinx{-4(sinx)^2-4cosx+(5-a^2)}=0
変形してsinx{4(cosx)^2-4cosx+(1-a^2)}=0
そこでsinx=0または4(cosx)^2-4cosx+(1-a^2)=0
後者の方程式は(2cosx-1)^2=a^2ですから形式的に解くと
2cosx= 1±a
xの範囲とcosxの範囲に注意すれば、
1±aのいずれもが絶対値が2より大きい場合、どちらか一方が絶対値が2の場合、どちらか一方が絶対値が2未満の場合、両方が絶対値2以下の場合（この場合さらに一方の絶対値が2の場合と両方とも絶対値2未満の場合）それにsinx=0の場合を勘案して（例えばa=1のときの解の一つはcosx=1よりx=0ですが、これはsinx=0も満たすので別に数えてはいけない）aの値で場合わけして答えましょう。

補足

回答ありがとうございます。
答えは　a≧３のとき2個、1≦a＜３のとき4個、0<a<1のとき６個となっています。
1±aの場合分けが難しいです。もう少し解説いただけませんか？

回答No.2

mister_moonlight

この問題のポイントは、xとcosxが必ずしも1対1の対応ではないと言うことです。

2cosxのグラフを描いて、1±aとの交点を調べてください。
1対1、2対1の場合が出てくると思います。