ベストアンサー 積分についてです 2011/11/17 18:37 ∫ ｘ^2√(ａ^2-ｘ^2) ｄｘ ってどうやってとくのでしょうか？ 部分積分のようなきはしましができません わかるかた教えてくださいお願いします みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー noname#224896 2011/11/17 19:28 回答No.1 x = a sinθ （-π/2<θ<π/2）とおきます これに応じて， 積分範囲も変化します． 例えば， --------------- x | 0 → 1 | ------------- θ| 0 → π/2| ------------------- すると， dx = a cosθdθ ∫ ｘ^2√(ａ^2-ｘ^2) ｄｘ ＝∫ a cosθ(a sinθ）^2√(ａ^2-(a sinθ）^2) dθ ＝∫ a cosθ(a sinθ）^2√（a cosθ）^2 dθ ＝∫ (a cosθ)^2 (a sinθ）^2 dθ ＝∫ a＾４( cosθ sinθ）^2 dθ sinαcosβ= (1/ 2 ) { sin( α+β )+sin( α－β ) } より， ∫ a＾４( cosθ sinθ）^2 dθ ＝∫ (1/ 2 )^2 a＾４ ( sin2θ）^2 dθ 半角の公式を使うと， ∫ (1/ 2 )^2 a＾４ ( sin2θ）^2 dθ ＝∫ (1/ 2 )^3 a＾４ (1- cos4θ） dθ ＝(1/8 ) a＾４∫(1- cos4θ） dθ ＝(1/8 ) a＾４{ θー(1/4)sin4θ } + C (Cは積分定数) 積分範囲が --------------- x | 0 → 1 | ------------- θ| 0 → π/2| ------------------- であれば， (1/8 ) a＾４{ ０ー(1/4)sin4＊０ } ー(1/8 ) a＾４{ π/2ー(1/4)sin２π } ＝ー (πa＾４)/ 16 こんな感じです． 質問者 お礼 2011/11/17 21:02 ありがとうございます。 それって暗記するのもですか？何かコツというかどういうときはどうするみたいなものありますか？ 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 微分積分 部分積分、置換積分で解こうと思いましたができません。 a ∫x*(a^2-x^2)^(1/2)dx 0 （積分範囲0からa） 解き方を分かりやすく教えて頂けないでしょうか 積分計算 ある入試問題の解答を読んでいて 積分計算の変形の仕方が分からない部分があります 積分路は全て 0→a ∫x^2 (a-x)^(-1/2) dx 4∫x (a-x)^(1/2) dx 8/3∫ (a-x)^(3/2) dx これらの式が全て等しいらしいのですが何故こうなるのか分かりません どなたか教えてください 積分 次の積分が分かりません。 ∫X^(3/2)*e^(-X/a)dX このaは数字を表わしています。 部分積分を用いて2回微分を行い、同じ形を見つける・・・といった問題だと思ったのですができませんでした。 よろしくお願いします。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 積分の問題 積分でわからない問題があります． (1)∫1/(a-sin x)dx (a>1) (2)∫[0,1](arcsin x)/√(1-x) dx (1)はsinx=tなどと置換してみましたが，複雑な式が出てくるばかりで解答の糸口が見えませんでした． (2)は部分積分によって出てきた項（1/{(1-x)√(1+x)}）が積分できません．また，積分後もどのように解いていけばよいのかが不明です． アドバイスをお願いします． いろいろな積分 （１）∫cosx^3/(sinx^(1/2)dx （２）∫x^2(2ax-x^2)^(1/2)dx （３）∫(logx)^4/xdx （４）∫(arcsinx)^4dx （５）∫1/(a^2sinx+b^2cosx)dx （６）∫(1-x^2)^ndx これらの問題を解く上で、解説をして欲しいです。（１）については、すべてsinにすればいいのでしょうか？糸口が見えません。（２）は部分積分がいいでしょうか。(2ax-x^2)^(1/2) これを積分？（３）(logx)^５を微分すると形が見えてきますね。（６） は部分積分のにおいがしますが、どうしたらいいのやらと。それで分かるのだけでも協力いただけたら幸いです。結局（３）以外ほとんど駄目なのです。 積分教えてください。 部分積分を使うと思うのですが，うまく解けません。 回答よろしくお願いします。 ∫(x-a)/(1+(x-a)/b)dx （a,bは定数) 積分 定積分∫(x-α)(x-β)(x-γ)dx 範囲がαからγ この定積分を部分積分でやるやり方を教えてください。お願いします。 積分の計算がわかりません y=∫d/dx { exp(-x^2/a^2) } dx (積分範囲は-∞～∞) この場合ってどのようにすればいいんでしょうか。 ガウス積分の公式を用いて答えを導きだしたいのですが、上手くいきません。 部分積分を使うんでしょうか？ よろしくお願いします。 不定積分 部分積分 ∫(3x+2)sinx dx =∫{(sinx)×(3x+2)} dx =(-cosx)×(3x+2)-∫{(-cosx)×3}dx =-(3x+2)cosx-3∫-cosx dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx or =(3x+2)(-cosx)-∫(3x+2)'(-cosx)dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx この２つのやり方どちらで部分積分で解答した方がいいんですか？ また、他の部分積分の時にはどちらのやりかたでやったほうがいいですか？ x/(a^2+x^2)の積分について x/(a^2+x^2)の積分について t=a^2+x^2とおいて dt=2xdx よって ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C と置換積分により積分することが出来ますが、 部分積分では計算できないのでしょうか？ (a^2+x^2)'=2x ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx として計算できると思ったのですが、うまく行きません。 どなたかアドバイス頂けたら幸いです。 ガウス積分みたいです。 ある期待値（または平均値）を計算する中にでてくるんですが、∫[-∞,∞]x・exp(-ax^2)dxの積分ってどうやればいいんですか？部分積分でやると、こんがらがってしまいます。 ガウス積分なんですか？ ∫[-∞,∞]x^2・exp(-ax^2)dxの積分は1/2a*(π/a)^(1/2)っていうのは、いろんなサイトや教科書にもでていますが、前者にあげたｘの１乗の場合がどうしたらいいかわかりません。ガウス積分に一般式でもあるのでしょうか？ 急なお願いになってしまうのですが、お願いします。 積分問題∫√(x^2+a)dxです。 ∫√(x^2+a)dxの積分が分かりません。∫1/√(x^2+a)dxは部分積分を用いて、ｔ＝ｘ＋√(x^2+a)とおいてlog|x+√(x^2+a)|+c で解けましたが、同じようにできるのでしょうか。よろしくお願いします。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 積分 lim(n→∞)∫(π,-π)(1+x+x^2)｜sin(nx)｜dx=? っていう問題です。－πからπまでの積分です。 ∫(π,-π)｜sin(nx)dx｜=4ということまではわかって、部分積分で解こうとしたのですがうまくいかなくて・・・ どなたか教えて下さい！ 前の質問に書き込んでいただいた方すいません！パスワードがわからなくなって・・ 定積分 ∫[0→1](x^2){sin^-1(x)}dx です。 部分積分でやってみました。 ∫[0→1](x^2){sin^-1(x)}dx =[(x^3/3){sin^-1(x)}][0→1] - ∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)} =sin^-1(1)/3-∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)} この後ろの部分をどのようにして積分すれば良いのでしょうか？ ∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}=? 教えてください。 お願い致します。 積分が出来ません！どうやるんだっけ？ 積分が出来ません． ∫(a/x - 1)dx ・・・積分の範囲は0からaまでです． どうやって積分するんでしたっけ？ 教えて下さい．よろしくお願いします． 積分の問題が分からないで困ってます。 積分の問題が分からないで困ってます。 分かる方教えてくださいｍ（_ _）ｍ （１）∫1/(x^4-x^3-x+1) dx 部分分数分解を使うと思うのですが、出てきた(x+1)/(x^2+x+1)の積分ができないで詰まってしまいました。 （２）∫1/{x√(x^2+2x+1)dx} まったく分かりません 部分積分 ∫x^2exp(-x^2/2)dxの部分積分についてです。 ∫x^2(-1/x・exp(-x^2/2))dxについて積分すればいいと思うのですが この積分により求められる第二項が2∫exp(-x^2/2)dxになってしまい回答と合いません、解答によると第二項は∫exp(-x^2/2)dxになるようなのですが何度やってもどこで間違っているのかがわかりません。 どなたか詳しく教えていただけないでしょうか。 積分の問題教えてください 積分の問題教えてください 1,部分積分 (1)∫xe^(2x) dx (2)∫xsin2x dx (3)∫(logx)/(x^3) dx (4)∫log(1＋x) dx 2,置換積分 (1)∫(dx)/(2x＋1)^3 (2)∫x((x^2)＋1)^5 dx (3)∫x(e^(－x)^(2)) dx (4)∫cos^(3)xsinx dx (5)∫e^(x)cosx dx の9問です。 どうかお願いします。 定積分 積分したいのですが、私の持っている参考書に記載がないです。 ∫[a,0] x/(b+cx)^3 dx 部分分数分解するのでしょうか。 お願いします。 積分 先日大学で積分の宿題が出たのですが、分からなくて困っているので助けて下さい。いずれも不定積分です。 （１）∫(x^3+1/x^2+2x-3)dx （２）∫(1/1+cosx)dx （３）∫{1/√(x-a)(b-x)}dx （４）∫(1/x√4x^2+9)dx √以降はすべて根号の中に入っています。 どれか一つでも良いので回答よろしくお願いします。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
ありがとうございます。 それって暗記するのもですか？何かコツというかどういうときはどうするみたいなものありますか？