積分

質問

次の積分が分かりません。
∫X^(3/2)*e^(-X/a)dX
このaは数字を表わしています。
部分積分を用いて2回微分を行い、同じ形を見つける・・・といった問題だと思ったのですができませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.6

Ae610

ANo.2です。
スミマセン!

計算間違えしました。
∫[0,∞){X^(3/2)・e^(-X/a)}dX = a^(5/2)・3(√π)/4
です!
X/a = tで置換した時にdX = adtであるべきところをdX = dt/aとやってしまいました!

申し訳ない!

回答No.5

alice_44

f(1) = ∫[0,∞] Y^(3/2)・e^(-Y) dY
= ∫[0,∞] Z^3・e^(-Z^2) 2Z dZ　　　; Z = √Y で置換
= 2 ∫[0,∞] Z^4・e^(-Z^2) dZ　

部分積分で、
∫[0,∞] Z^4・e^(-Z^2) dZ
= ∫[0,∞] (1/2)Z^3・2Ze^(-Z^2) dZ
= [ (1/2)Z^3・{-e^(-Z^2)} ]_(0,∞) - ∫[0,∞] (3/2)Z^2・{-e^(-Z^2)} dZ
= 0 + (3/2) ∫[0,∞] Z^2・e^(-Z^2) dZ

∫[0,∞] Z^2・e^(-Z^2) dZ
= ∫[0,∞] (1/2)Z・2Ze^(-Z^2) dZ
= [ (1/2)Z・{-e^(-Z^2)} ]_(0,∞) - ∫[0,∞] (1/2)・{-e^(-Z^2)} dZ
= 0 + (1/2) ∫[0,∞] e^(-Z^2) dZ

最後の
∫[0,∞] e^(-Z^2) dZ
= (1/2)√π
は、面倒くさいから Gauβ に頼ろう。(Wolfram じゃなく)
参考↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86

よって、f(1) = (3/4)√π。

回答No.4

Tacosan

Maxima は #3 が正しいといっている.

回答No.3

alice_44

f(a) = ∫[0,∞] X^(3/2)・e^(-X/a) dX
= ∫[0,∞] (aY)^(3/2)・e^(-Y) a dY　　　; X = aY で置換
= a^(3/2 + 1) ∫[0,∞] Y^(3/2)・e^(-Y) dY
= a^(5/2)・f(1)

f(1) = (3/4)√π

回答No.2

Ae610

∫[0,∞){X^(3/2)・e^(-X/a)}dX
= 3√(aπ)/4

回答No.1

Tacosan

不定積分を初等超越関数で表すことはできませんけど, どうしましょうか?

補足

すみません。0～∞を抜かしていました。申し訳ありません。