やっぱりわからないベクトル解析・・・；；

質問

以前にも質問してしつこいのですが、すみません。
Ａ・∇Ａ＝１／２∇Ａ＾２－Ａ×rotＡ
の証明で、式のとおりに証明したいのですが、できません。やっぱりできません。。。
（Ａ1i+Ａ2ｊ＋Ａ3ｋ）・（∂/∂ｘ＋∂/∂ｙ+∂/∂ｚ）Ａ＝・・・・・・
と、解いて行こうとしているのですが・・・

回答No.1

Rossana · ベストアンサー

まず，問題の式
A・∇A＝(1/2)∇A^2－A×rotAは
(A・∇)A＝(1/2)∇A^2－A×rotA
の間違いですね．
まず，この証明のポイントは
A×rotAから始めると一番分かりやすいかと思われます．
まず，A×rotA のx成分を求めます．
それを(A×rotA)_xと表す事にします．
(A×rotA)_x＝A_y(rotA)_z－A_z(rotA)_y
＝A_y(自分で計算)－A_z(自分で計算)
＝(まとめる)
＝－(A_x∂/∂ｘ＋A_y∂/∂ｙ+A_z∂/∂ｚ)A_x
＋(1/2)∂/∂ｘ(A^2_x＋A^2_y＋A^2_z)
＝－(A・grad)A_x＋(1/2)(gradA^2)_x

となります．これをy，z成分についても計算すれば証明の完成です．回答をまるまる書くのはたぶんこのサイトのルール違反になったと思いますし，tessさんのためにもならないので，(自分で計算)，(まとめる)の所くらいは自分で計算できるように式を省きました．
よく分からなかったら補足ください．
では，頑張って下さい．

お礼

わかりやすい説明ありがつございました。
なんとか解けました（＞＜）

回答No.3

motsuan

(d/dx)f(x)g(x) = (df/dx)g + f(dg/dx)
=[(d/dx)_{fに作用}+(d/dx)_{gに作用}]f(x)g(x)
となることを利用すると
例えば、
∇・(ＡＸＢ)
＝(∇_{Aに作用}+∇_{Bに作用})・(ＡＸＢ)
＝∇_{Aに作用}・(ＡＸＢ)+∇_{Bに作用}・(ＡＸＢ)
適当に順番を入れ替えて
＝Ｂ・(∇_{Aに作用}ＸＡ)－Ａ・(∇_{Bに作用}ＸＢ)
＝Ｂ・(∇ＸＡ)－Ａ・(∇ＸＢ)
のように計算が比較的容易にできるようになると思います。
（ε_{ijk}ε_{mnk}=δ_{im}δ_{jn} - δ_{in}δ_{jm}のような計算を
地道にできるほうがあとあと役に立つような気もします。）

つまり、ばらしたあとにライプニッツ則を適用するのではなく
最初に適用してしまえば、あとは単なるベクトル演算
ということです。

∇(Ａ・Ｂ)は
ＡＸ(ＣＸＢ)＝(Ａ・Ｃ)Ｂ－Ｃ(Ａ・Ｂ)
を知らないとちょっと難しいかなと思います。
あとは、Ｃを∇_{Bに作用}にして．．．
ＡとＢを入れ替えた式と比べてみると．．．

お礼

ありがとうございました。
助かりまた（＞＜）

回答No.2

KENZOU

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=707298でSiegmundさんが
「ベクトル解析の公式
∇(A・B)=(B・∇)A+(A・∇)B+B×(∇×A)+A×(∇×B)　　(1)
でA=B とおくと問題の式がすぐに出ます．」
とヒントを出されていますが、ＴＲＹされましたか？

質問の式の証明を左辺から右辺の表式を導き出そうとされていますが、それは極めて難しいし、また、そういう事をやるのに一体何の意味があるのか分かりません。質問の式は公式(1)から自然と導かれますから、公式(1)をキチンと証明しておけばよいと思いますよ。
そこで(1)の式の証明のヒントを以下に書いておきますので、是非ご自分でＴＲＹしてみてください。尚、質問の式は(1)式でＡ＝Ｂとおけばでます。
(1)の右辺の第１項のｘ成分を計算します。
(B・∇)A＝(Bx∂/∂x＋By∂/∂y＋Bz∂/∂z)A　　(2)
→ｘ成分＝Bx∂Ax/∂x＋By∂Ax/∂y＋Bz∂Ax/∂z　(3)
第２項のｘ成分は
(A・∇)B＝(Ax∂/∂x＋Ay∂/∂y＋Az∂/∂z)B　　(4)
→ｘ成分＝Ax∂Bx/∂x＋Ay∂Bx/∂y＋Az∂Bx/∂z　(5)
第３項のｘ成分は
B×(∇×A)＝B×((∂Az/∂x-∂Ay/∂z)i
　　　　　　　　　＋(∂Ax/∂z-∂Az/∂x)j
　　　　　　　　　＋(∂Ay/∂x-∂Ax/∂y)k)　　(6)
→ｘ成分＝By(∂Ay/∂x-∂Ax/∂y)
　　　　　　　　　-Bz(∂Ax/∂z-∂Az/∂x)　(7)
第４項のｘ成分は
A×(∇×B)・・・上と同様にして
→ｘ成分＝Ay(∂By/∂x-∂Bx/∂y)
　　　　　　　　　-Az(∂Bx/∂z-∂Bz/∂x)　(8)
これらｘ成分を足しあわすと(1)式の右辺のｘ成分となります。
次ぎに(1)の左辺のｘ成分を計算すると
∇(A・B)のｘ成分＝∂/∂x(AxBx＋AyBy＋AzCz)　(9)
(1)の右辺のｘ成分は従って
→ｘ成分＝∂(AxBx)/∂x＋∂(AyBy)/∂x＋∂(AzBz)/∂x　(10)
となります。一方(1)の左辺のｘ成分は
(∂/∂x)(AxBx+AyBy+AzBz)　(11)
ですね。つまり(10)＝(11)
ということで他の成分についても同様に計算できて、両辺の座標成分は等しいことが証明できます。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
何度もお世話になりすみません（＞＜）