場合の数

質問

次の問題、制約が多すぎてどうしたらいいのか全然わかりません。教えてください。

（問題）　1～11の数字の書かれたカードが各1枚ずつ合計11枚あり、
これを次の条件に従って横一列に並べる。
・　「2，4，6」の3枚のカードは列の両端に並べることができず、
　　またどれも隣り合わせて並べることができない。
・　「1，3，5，7」の4枚のカードはどれも隣り合わせて並べることができない。
・　「8，10」の2枚のカードは隣り合わせて並べることができない。
・　「9，11」の2枚のカードは隣り合わせて並べることができない。
このとき、11枚のカードの並べ方は全部で何通りあるか。

回答No.7

nag0720 · ベストアンサー

「2，4，6」を○、「1，3，5，7」を●として、
○が３個、●が４個の並べ方は、7C3=35通り

この７個の並びの間に、「8,9,10,11」を入れることを考えると、

35通りのうち、次の4通りは条件を満たすことができないので、不可
○○○●●●●
○○●●●●○
○●●●●○○
●●●●○○○

次の18通りは挿入しなければならない箇所は４箇所あるので、挿入のしかたは6通りずつ
18×6＝108通り
○○●○●●●
○○●●○●●
○○●●●○●
○●○○●●●
○●○●●●○
○●●○○●●
○●●●○○●
○●●●○●○
●○○○●●●
●○○●●●○
●○●●●○○
●●○○●●○
●●○●●○○
●●●○○○●
●●●○○●○
●●●○●○○
○●●○●●○
●●○○○●●

次の12通りは挿入しなければならない箇所は２箇所あるので、挿入のしかたは170通りずつ
12×(10C2+6C2+2×(1+6×9))＝2040通り
○●○●○●●
○●○●●○●
○●●○●○●
●○○●○●●
●○○●●○●
●○●○○●●
●○●○●●○
●○●●○○●
●○●●○●○
●●○○●○●
●●○●○○●
●●○●○●○

次の1通りは挿入しなければならない箇所はないので、挿入のしかたは1332通り
8×9＋8C2×10C2＝1332通り
●○●○●○●

さらに、それぞれの順列の数を掛けて、
(108+2040+1332)×3!×4!×2!×2!=2004480通り
が答となります。

お礼

ありがとうございました。
こういうのはすごく苦手なので説明の内容を理解するのにとっても時間がかかってしまいました。
なんとかやっと分かりました。

回答No.6

hrsmmhr

もう一点

１－１）一つづつ入る場合（１通り）→残りで埋める必要のある隙間は０→8C2*10C2、は
１－１）一つづつ入る場合（１通り）→残りで埋める必要のある隙間は０→8C2*10C2+2*8C1*8C1+8C1*1
と2*8C1*8C1+8C1を追加しなくてはいけません、これは最初に入れる二個組のグループが
同じ隙間に入る場合です
従って
1*1*(8C2*10C2+2*8C1*8C1+8C1)+(1*3+2*3)(2*10C2+2*7C1*8C1)+(1*3+2*3+4*3)4!/(2!*2!)
=28*45+128+8+9*(90+112)+21*6=1396+1818+126=3340通り
です

回答No.5

hrsmmhr

どうも違うみたいなので、もう一度やり直します

４つのグループと３つのグループの並びを考えます
４つのグループを並べ、３つのグループを入れますが
１）端に一つも来ない場合（１通り）
１－１）一つづつ入る場合（１通り）→残りで埋める必要のある隙間は０→8C2*10C2
１－２）同じ個所に二つ入って、一つは別の場合（３通り）→残りで埋める必要のある隙間は２→2*10C2+2*7C1*8C1
＃2*10C2は同じグループが埋めるべき場所に入る場合、
＃2*7C1*8C1は違うグループが埋めるべき場所に入る場合
＃但し埋めるべき場所に入れた後に入れる時、自分と同じグループの両サイドの隙間は入れないし、
＃別のグループの両サイドは重複して数えることになるため、前後のどちらか一方を削った数となる
１－３）同じ個所に三つ入る場合（３通り）→残りで埋める必要のある隙間は４→4!/(2!*2!)
２）端に一つ来る場合（２通り）
２－１）残りは一つづつ入る場合（３通り）→残りで埋める必要のある隙間は２→2*10C2+2*7C1*8C1
２－２）残りが同じ場所に入る場合（３通り）→残りで埋める必要のある隙間は４→4!/(2*!2!)
３）端に二つ来る場合（４通り）
３－１）残りが一つ何処かに入る（３通り）→残りで埋める必要のある隙間は４→4!/(2!*2!)
４）端に３つ来る場合→残りの埋めるべき隙間が６個であり、埋めきれない

よって1*1*8C2*10C2+(1*3+2*3)(2*10C2+2*7C1*8C1)+(1*3+2*3+4*3)4!/(2!*2!)
=28*45+9*(90+112)+21*6=1260+1818+126=3204通り

回答No.4

hrsmmhr

４つのいずれかが並ぶ並び方は
●●・●・●＝1*1*6C2*6C3+1*(2C1*2C1)*5C1*6C3+1*(2C1*2C1)*(6C2-5C1)*5C2+
1*1*1*6C3+1*1*(2C1*2C1)*4C2+1*1*1*4C1

一項目は二つが間に入ったとき、二項目は最初が間に一つ入ったときで二番目が一つ間に入る場合
三項目は最初が間に一つ入って、二番目は間に入らない場合
四項目は最初が間に一つも入らず、二番目が二つ間に入った場合
五項目は最初が間に一つも入らず、二番目が一つ間に入った場合
六項目は最初が間に一つも入らず、二番目も一つも入らず、最後が全部埋める場合

この計算値が最初の並びの数3!/2!ずつあります

●●●・●＝1*(3C2-1)*5C2*5C3+1*1*4C1*5C3+1*1*(5C3-4C1)*4C2

１項目は最初が間を埋める場合、二項目は二番目が間を埋める場合、三項目は三番目が間を埋める場合

この計算値も2!あります

●●・●●＝1*(3C2-1)*5C2*5C3+1*1*4C1*5C3+1*1*(5C3-4C1)*4C2

１項目は最初が間を埋める場合、二項目は二番目が間を埋める場合、三項目は三番目が間を埋める場合

これは一つだけ

●●●●=1*1*4C2*4C3

これも一つだけ

全部足して前のNからお引きください
（間違ってたらすみません。良く検算してください）

回答No.3

hrsmmhr

すみません。ちょっと違うかもしれません。
最初の４つが並ばない保証がないので、その部分はそこで求めた値から引く必要があります
もう少し検討します

回答No.2

hrsmmhr

４つのグループの並べ方の場合の数（N）を考えて計算する
それぞれのグループの並べ方について中のカードの組み合わせの数をM1,M2,M3,M4として
N*M1*M2*M3*M4で計算すれば答えはでます

それで難しいのがNなんですが
まず４つならべます●●●●=1
それに２つ入れるのですが端っこもしくは間にいれますので、隙間を二つ選択して*5C2 ●●●●●●
さらに２つ入れるので*7C2　●●●●●●●●
最後の３つは端っこは駄目なので*7C3
∴N=5C2*7C2*7C3

回答No.1

noname#224896

ヒント：
全ての場合の数から，
以下の条件を全て満たす場合の数を引けば良い．
(1)　「2，4，6」の3枚のカードのうち２枚を列の両端に並べ場合の数．
(2)　「1，3，5，7」の4枚のカードはどれも隣り合わせて並べ場合の数．
(3)　「8，10」の2枚のカードは隣り合わせて並べた場合の数．
(4)　「9，11」の2枚のカードは隣り合わせて並べた場合の数．

まず，両端を選ぶ場合の数は，3C2＝３通り，
残りの１枚をＸとすると

●の部分が決まったので，残り，
Ｘ，（１，３，５，７），（８，１０），（９，１１）
大きく別けると，
●○○○○●
このように○で，
４つのブロックに別けることができ，
その場合の数は，４！
（１，３，５，７）が隣り合っても良い並べ方の場合の数は，４！
（８，１０）が隣り合っても良い並べ方の場合の数は，２！，
（９，１１）は上と同様に２！

つまり，3C2×４！×２！×２！＝２８８通り
これは，あくまでも，
全ての条件をみたさない，積集合だから，
“全ての条件をみたさない和集合”を求め，
その場合の数を１１！から引いてやればいい．

補足

回答ありがとうございます。でも、なんだかこんがらがってきました。
「列の両端に並べることはできない」というのは、左も右も揃ってという意味なのですか。
片方だけでも「2，4，6」のどれかを並べてはいけないという意味だと思ったのですが。
また、「どれも隣り合わせて並べることはできない」というのは、
「2，4，6」ならば、3つ揃って並べてはいけないが、2つならば良いという意味なのですか。