図形

質問

三角形ABCはAB=2√2,BC=2を満たし
半径２の円に内接している。
ただし,角Bは鈍角である。

ACの長さを求めよ

誰か時間あったら
よろしくお願いします

回答No.3

banakona · ベストアンサー

下図でＯＢ＝ＯＣ＝２で、ＢＣ＝２なので△ＯＢＣは正三角形。
よって∠ＯＢＣ＝６０°

ＯＡ＝ＯＢ＝２でＡＢ＝２√２なので△ＯＡＢは直角二等辺三角形。
よって∠ＡＢＯ＝４５°

sin∠ＡＢＣ＝sin(∠ＡＢＯ＋∠ＯＢＣ）＝sin(４５°＋６０°）
　　　　　　＝sin４５°cos６０°＋cos４５°sin６０°

で　sin∠ＡＢＣが求まるので、あとは正弦定理
　　２Ｒ＝ＡＣ／sin∠ＡＢＣ　　（ただしＲ＝２）
でＡＣを求める。

お礼

画像まで本当にありがと
ございます(´；ω；｀)

解けました!!

回答No.2

qwe1986

解き方でございます。

ＡＣ＝ｘとおきます。

余弦定理と正弦定理を使いましょう。

すると正弦定理より

X/sinB=4　←4は半径２倍の値

変形して　X＝4sinB・・・(1)

また余弦定理より

X^2=（2√2）^2+2^2-2・2√2・２cosB
　　=12-8√2cosB・・・(2)

(1)を(2)に代入

すると

１6sin^2B=12-8√2cosB・・・(3)

sin^2B+cos^2B=1 より（公式ね）
sin^2B=1-cos^2B
これを(3)に代入すると
１６（1-cos^2B）=12-8√2cosB

これを整理するとcosBの二次方程式になります。（わかりにくければcosB＝ｔとでもおいてみましょう）

で解くと答えが２つでてきますがＢが鋭角ですので

cosBは０＜cosB＜１の間の値をとりますから、そうでないほうは除外されcosBの値は１つになります。

でたcosBの値を(2)に代入すればＡＣが求まります。

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます!
参考になりました(^ω^)

回答No.1

noname#224896

三角形ABCに外接する円の中心を点Oとおく．

△OBCは，１辺の長さ２の正三角形である．
さらに，中心角と円周角の関係より，
∠BAC＝（∠BOC）／２
∠ABO=∠BACより，
∠ABO＝３０°である．

そして，∠B＝∠ABO＋∠OBCより
∠B=３０°＋６０°＝９０°
すなわち，△ABCは直角三角形となる．

つまり，AC＾２＝BC＾２　＋　AB^2より，
AC^2＝４＋８＝１２
∴　AC＝２√３　．．．（解答）
====================================================
∠Bは，鋭角でもないから，直角は鈍角になるのかなぁ．

お礼

ありがとうございます！
助かります(*´Д｀*)/