数学

質問

円に内接する△ABCにおいて、AB=10,BC=6,∠B=120°とする。
また,弧AC上に点Pをとる。

四角形ABCPの面積の最大値を求めよ。
この問題が分かりません。

AC=14,円の半径=14√3/3まで求めることができました。

回答No.5

info22

□ABCP=△ABC+△ACP
△ABC=(1/2)10*6sin120°=15√3

△ACPは
>AC=14
円周角∠P=60°
のもとで面積最大となるのは
底辺AC=14で一定なので、高さが最大になるときであるから
PA=PC
頂角∠P=60°なので
正三角形になります。
AC=PA=PC=14
したがって
△ACP=(1/2)14*14sin60°=49√3
□ABCPの最大値=△ABC+△ACP=15√3+49√3=64√3

回答No.4

mister_moonlight

やはり、計算ミスをしてた。

（誤）四角形ＡＢＣＰ＝△ＡＢＣ＋△ＡＰＣ＝15√3＋（√3/49）＝（736√3）/49.

（正）四角形ＡＢＣＰ＝△ＡＢＣ＋△ＡＰＣ＝15√3＋49√3＝64√3.
この時、m＝28、n＝196から、x＝y＝14.

回答No.3

nious

外接円の中心をO、ACの中点をMとすると、MOはACの垂直二等分線になるから
MOの延長線と円の交点がPのとき△ACPの面積最大。
そのとき∠APM=(180-120)/2=30だから、AM/MP=tan(30)=1/√3、MP=7√3より
△ACP=49√3、また△ABC=15√3より最大値は64√3

回答No.2

R_Earl

四角形ABCP = △ABC + △APC

△ABCの面積は、点Pが動いても変わりません。
点Pによって面積が変わるのは△APCです。
よって△APCの面積を最大にすれば、四角形ABCPの面積も最大になります。

△APCにおいて、辺ACを底辺と考えます。
ACも14cmで固定されているので、△APCの面積を最大にするには、
高さを最大にすれば良いわけです。

辺ACを地面に水平にし、点Pが上にくるような図を描いてみてください。
点Pの位置が三角形の高さに直結しますよね。
なので点Pが一番高いところに来る時を考えれば良いです。
図を眺めていれば気付くと思いますが、辺ACの中点のちょうど真上に点Pが来ると、
点Pの高さが最大になります。
この時△APCはAP = PCの二等辺三角形になります。
さらに円に内接する四角形の性質から、∠APC = 180° - ∠ABC = 60°なので、
△APCは頂点の角が60°の二等辺三角形、つまり正三角形です。
よって、△APCの面積は、△APCが正三角形になる時に最大となります。

△APCの一辺の長さは14と分かっているので、それを元に△APCの面積を計算できます。
△ABCの面積も、すでに求めた辺の長さや角の大きさから計算できます。
四角形ABCP = △ABC + △APCなので、二つの面積の和が四角形ABCPの面積となります。

回答No.1

mister_moonlight

△ＡＢＣ＝（1/2）*6*10*sin（120°）＝15√3、であるから、△ＡＰＣの面積の最大値を求めると良い。
四角形ＡＢＣＰが円に内接するから、∠ＡＰＣ＝180°-120°＝60°。
ＡＰ＝x、ＣＰ＝yとすると、余弦定理から、196＝x＾2＋y＾2-2xycos（60°）＝x＾2＋y＾2-xy　‥‥(1)
△ＡＰＣ＝（1/2）*x*y*sin（60°）＝（√3/4）*xy‥‥(2)
そこで、(1)と(2)において、x＋y＝m、xy＝nとすると、△ＡＰＣ＝（√3/4）*n、m＾2-3n＝196.‥‥(3)
mとnはt＾2-mt+n＝0の2つの正の解から、判別式＝m＾2-4n≧0‥‥(4)、m＞0、n＞0より、(3)から　0＜n≦196.
四角形ＡＢＣＰ＝△ＡＢＣ＋△ＡＰＣ＝15√3＋（√3/49）＝（736√3）/49.　この時、xとyの値は？

あまり綺麗な数字にならないので、計算に自信なし。