経済学に出てくる数学の問題の解き方です

質問

p1*f(x)+(1-p1)*g(y)=d1→(1)
p0*f(x)+(1-p0)*g(y)=d0→(2)

の交点を求める問題です。

途中までは計算できそうだったのですが、
手詰まりになりました。
途中経過も記しますのでどなたかよろしくお願いいたします。

テキストの答えは
f(x)=d1+{(1-p1)/(p1-p0)}*(d1-d0)
g(y)=d1-{(1-p1)/(p1-p0)}*(d1-d0)
になっておりまして、先日掲示板で質問させていただき、
(1-p1)*g(y)=d1-p1*f(x)→(1)'
を導き、
(2)の両辺に(1-p1)をかけた
(1-p1)*p0*f(x)+(1-p1)(1-p0)*g(y)=(1-p1)*d0
を出し
(2)に(1)'を代入するというところまでは理解できたのですが、
計算すると
(1-p1)*p0*f(x)+(1-p0){d1-p1*f(x)}=(1-p1)*d0
整理すると
p0*f(x)-p0*p1*f(x)+d1-p1*f(x)-p0*d1+p0*p1*f(x)=(1-p1)*d0
となるはずです。
さらに整理すると。
p0*f(x)-p1*f(x)+d1-p0d1=d0-p1*d0
続けていくと
p0*f(x)-p1*f(x)=d0-p1*d0-d1+p0d1
↓
(p0-p1)*f(x)=d0-p1*d0-d1+p0d1
ここら辺で手詰まりになります。
最終的に
f(x)=d1+{(1-p1)/(p1-p0)}*(d1-d0)
にしなければならないのですが、
どのあたりから間違っていて、手順的にどうすれば結果にたどり着けるかが分からずに非常に困っております。
お手数ですがなにとぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

(1)-(2)で
(p1-p0)f(x)-(p1-p0)g(y)=(d1-d0)
g(y)=f(x)-(d1-d0)/(p1-p0)
(1)にいれて
p1f(x)+(1-p1){f(x)-(d1-d0)/(p1-p0)}=d1
f(x)=d1+(d1-d0)/(p1-p0)*(1-p1)
g(y)も同様です

お礼

逆算してみて、
右辺の上下に-1を掛けたり、
右辺に-p1d1+p1d1
を入れたりすると何とかこぎつけたのですが、
いただいた方法で非常に明快に解くことができました。
大変ありがとうございました。