点列の収束

質問

ふたつの点列{x_n}、{y_n}がそれぞれにξ、η∈R収束するとするとき、各自然数n∈Nに対してa_n＝(x_n、y_n)とすると点列{a_n}は(ξ、η)∈R^2に収束することを証明せよ。ただし、R、R^2はそれぞれユークリッド距離を用いて距離空間とみなす。

この問題が、大学のレポートで出題されたのですが、よく分からないので、ご解説いただけたらと思います。

回答No.2

rnakamra

点列が収束する、ということの定義を書いてみましょう。
ε-N論法で示すわけですが、
x_n:∀ε1>0,∃N1 s.t. n>N1⇒|x_n-ξ|<ε1
y_n:∀ε2>0,∃N2 s.t. n>N2⇒|y_n-η|<ε2
となります。

ここであるε>0に対して、ε1=ε2=√(ε/2)とすると
n>max(N1,N2)⇒|(x_n-ξ,y_n-η)|=(x_n-ξ)^2+(y_n-η)^2<(ε/2)+(ε/2)=ε
となります。

回答No.1

Tacosan

OK, 「よくわからない」ということだからわかっていることをすべて書いてもらおうじゃないか.