イオンのポテンシャルエネルギーの問題について

質問

以下の問題が皆目分からなかったのでどなたか解説していただけないでしょうか。
3時間ほどテキスト等参照しながら考えてみたのですが糸口すらつかめませんでした・・・

一直線上に正負の一価のイオンが間隔aで交互に並んでいる一次元格子がある。任意の一つのイオンのポテンシャルエネルギーを計算せよ。ここで、a＝2.8×10＾（－10）mとすると、その値は何程となるか。

どなたか、よろしくお願いします。

回答No.1

FT56F001 · ベストアンサー

電荷q1[C]が距離r[m]に作る電位は，無限遠を0として，
q1/(4πε0*r)
です。電荷q1[C]と電荷q2[C]が距離r[m]離れている時のポテンシャルエネルギーは
q1*q2/(4πε0*r)
です。

さて，n個の電荷が交互に+e[C]，-e[C]と直線上に間隔aで並んでいます。
このときの全ポテンシャルエネルギーは
Σ[i=1 to n]Σ[j=1 to n，j≠i] e^2(-1)^i(-1)^j/(4πε0*a|i-j|)
と書けます。電荷がn個あるので1個当りのポテンシャルエネルギーUは
U=Σ[i=1　to　n]Σ[j=1　to　n，j≠i] e^2(-1)^(i+j)/(4πε0*a|i-j|n)
=e^2/(4πε0*a)Σ[i=1　to　n]Σ[j=1　to　n，j≠i] (-1)^(i+j)/(|i-j|n)

さて，後半の二重Σは純粋に数学的な量です。
数値計算によると，nが数百程度で-1.386くらいに収束するようです。

実際，
Σ[i=1　to　n]Σ[j=1　to　n，j≠i] (-1)^(i+j)/(|i-j|n)
=2{-(n-1)/1　+　1*(n-2)/2　-　(n-3)/3+1(n-4)/4　-・・・+(-1)^(n-1)/(n-1)+(-1)^n(n-n)/n}/n
≒2Σ[k=1 to n, kは奇数]{(-1)(n-k)/[k*n]+(+1)(n-k-1)/[(k+1)*n]}
=2Σ[k=1 to n, kは奇数](-n)/[k*(k+1)*n]
=-2{1/(1・2)+1/(3・4)+1/(5・6)+1/(7・8)+1/(9・10)+・・・+1/[(n-1)n]}
→-2*log_e(2)　(n→∞)

よって答えは，U=-2log(2)*e^2/(4πε0*a)
と見積もられます。
a＝2.8×10^(-10)[m]，e=1.6×10-19[C]，ε0=8.85pFを使うと，
U=1.14×10^(-18)[J]となりました。

お礼

詳しいご解説をくださりありがとうございますm(_ _)m