数学II

質問

sinθ+sin(θ+2/3π)+sin(θ+4/3π)
を簡単にせよ。

と言う問題が分からないので、よろしくお願い
しますm(__)m

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

オイラーの公式(参考URL参照)を使って

sinθ+sin(θ+(2/3)π)+sin(θ+(4/3)π)
=Im{e^(iθ)+e^(iθ+(2/3)π)+e^(iθ+(2/3)π)}
=Im{(e^(iθ))(1+e^(i2π/3)+e^(i4π/3))
=Im{(e^(iθ))*0} (←単位円を描くと分かりやすい)
=Im{0}
=0

別解
sinθ+sin(θ+(2/3)π)+sin(θ+(4/3)π)
=sinθ+{sinθcos((2/3)π)+cosθsin((2/3)π)}+{sinθcos((4/3)π)+cosθsin((4/3)π)}
=sinθ+sinθ(-1/2)+cosθ(√3/2)+sinθ(-1/2)+cosθ(-√3/2)
=0

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの公式