確率の問題で質問です。

質問

数字２の書かれたカードが５枚、数字－１の書かれたカードが、１０枚ある。
今この十五枚のカードを、全て一列に並べ、カードに書かれた数字を左から順にＸ１、Ｘ２、Ｘ３・・・
Ｘ１５として、

　　　Sｎ＝Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３＋Ｘ４＋・・・Ｘｎ　　　（ｎ＝１，２，３，４，・・・・１５）

とおく。このとき全ての、ｎに対してＳｎ≧０となる確率を求めよ。

この問題に対して、私は、余事象の考えを使って
「ある特定のｎに対して、Ｓｎ＜０となる確率」と考えて

Ｘ１に－１がくると、残り－１が、９枚　２が５枚なので重複順列を用いて
　　　　　　　　　　　　　　　｛１４！/（９！*２！）｝

Ｘ１に２がくると、Ｘ２、Ｘ３、Ｘ４に－１がくると考えて、（Ｘ４に－１がくる時点で、Ｓｎ＜０になるため）
　　　　　　　　　　　Ｘ５からは、残り－１が７枚、２が４枚なので）、同様に重複順列の考え方で
　　　　　　　　　　　　　　　　｛１１！/（７！*４！）｝

とここまでは、合っていると思うのですが・・・。

Ｘ１に２、Ｘ２に２、Ｘ３、Ｘ４、Ｘ５、Ｘ６、Ｘ７に－１がくると考えて・・・・
　　　　　　　　　　　　残り２が３枚、－１が５枚と考えて、重複順列の考えで
　　　　　　　　　　　　｛８！/（３！*５！）｝　　
　　　　　　　　　　　　と考えて、進めるべきなのでしょうか？

わかる方お願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

これはカタラン数の亜種ですね。

この問題は最短経路を求める問題に置き換えられます。

○
○○○
○○○○○
○○○○○○○
○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○
一番上の○から右下の○まで縦横だけで移動する最短経路の数は、

1
↓
1→1→1
↓
1→2→3→3→3
↓
1→3→6→9→12→12→12
↓
1→4→10→19→31→43→55→55→55
↓
1→5→15→34→65→108→163→218→273→273→273

より２７３通りあります。
（縦の移動が２のカード、横の移動が－１のカードと思ってください）

求める確率は、
273/(15C5)=1/11

興味があるなら「カタラン数」で検索してみてください。

お礼

ありがとうございます。
カタラン数ですか・・・

知りませんでしたけど・・
なんだか、おもしろそうですね・・・

ちょっと、調べてみて、また、質問してみます・

補足

ある人に質問したら、以下のような回答を得ました。

条件を満たさないのはk枚目の2のカードの左側に、-1のカードが 2(k-1)+1 枚以上あるとき。
この時はいずれかのnで必ずSn<0になるので、これを数えてみました。
以下計算なのですが、なんだか力づくで美しくないので、他にもっといい解き方があると思います。

(1) 1枚目の2で条件を満たさない
X1が-1の場合。すなわち、
1×14!/(9!×5!)=2002 (通り)

(2) 2枚目の2で条件を満たさない
X1が2で、X2~X4が -1の場合。すなわち、
1×1×1×1×11!/(7!×4!)=330（通り）

(3) 3枚目の2で条件を満たさない
X1が2、X2~X4のいずれか1枚が2、残り2枚が-1、X5~X7が-1の場合。すなわち、
1×3×1×1×1×8!/(5!×3!)=168（通り）

(4) 4枚目の2で条件を満たさない
X1が2、X2~X7に2が(X5,X6),(X5,X7),(X6,X7)以外の組み合わせで2枚、残り4枚が-1、X8~X10が-1の場合。すなわち、
1×{6!/(2!×4!)-3}×1×1×1×5!/(3!×2!)=120（通り）

(5) 5枚目の2で条件を満たさない
X1が2、X2~X10に2が(X2,X8,X9),(X2,X8,X10),(X2,X9,X10),(X3,X8,X9),(X3,X8,X10),(X3,X9,X10),(X4,X8,X9),(X4,X8,X10),(X4,X9,X10),(X5,X6,X7),(X5,X6,X8),(X5,X6,X9),(X5,X6,X10),(X5,X7,X8),(X5,X7,X9),(X5,X7,X10),(X5,X8,X9),(X5,X8,X10),(X5,X9,X10),(X6,X7,X8),(X6,X7,X9),(X6,X7,X10),(X6,X8,X9),(X6,X8,X10),(X6,X9,X10),(X7,X8,X9),(X7,X8,X10),(X7,X9,X10),(X8,X9,X10)以外の組み合わせで3枚、残り6枚が-1、X11~X13が-1の場合。すなわち、
1×{9!/(3!×6!)-29}×1×1×1×2!/(1!×1!)=110（通り）

(1)～(5)を全て足すと、
2002+330+168+120+110=2730 （通り）

よって、求める確率は、
1-2730/3003=1/11

これが、ヒントになればと・・・。

回答No.1

B-juggler

う～ん。ちょっとお邪魔してみます。

最後の一文はいりません。　分かる人しか回答しませんからね。

余事象　この場合は　「Ｓｎ＜０」を考えるときに

順列使うよりは、枚数が少ないので、１個ずつ行ったほうが早いような気がしますよ。

Ｓ1＜０　は　「一番左が－１」なので、（１０／１５）＝（２／３）

Ｓ2＜０　は　「二枚目もー１」なので、　Ｓ1　×　（９／１４）　＝　（３／７）

　計算は当てにしないでね。

Ｓ3＜０　は　ここまで　全部－１　なので　（１０×９×８）／（１５×１４×１３）

Ｓ4　から分岐ですが、（ａ）　－１　なら　５，６枚目がプラスでもいいけど

（ｂ）　＋２　なら　Ｓ4＝－２ね　次はまた　－１。でしょう？

Ｘ1　が　＋２　のときは　Ｓ1、Ｓ2＞０　ですから、余事象じゃないですよ。

普通に樹形図使って、余事象ではなく　考えたほうが早い気がしますけど。

どうでしょうか？

プラスのほうが少ないんだから、プラスが何番目に来るかを考えたほうが早いと思いますけど。

Ｓ15　＝　０　なんですから、１４，１５枚目はマイナスじゃないといけませんしね。

最初はプラスじゃないといけないでしょう？

結構絞れると思いますけれど・・・。

お邪魔しました。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

実は、赤５つ、青１０個で　最初に赤、最後から二つが青のとき、

左から　（赤の個数）≧２×（青の個数）になるのは何通りか？　と同じだと思いますよ。

お礼

ありがとうございます。

でも、ちょっとわかりません。m(_ _)m

上の方のやり方を参考にいたします。