確率の問題で質問です。 （９２３ＫＭ）

質問

確率の問題で質問です。

数字２の書かれたカードが５枚、数字－１の書かれたカードが、１０枚ある。
今この十五枚のカードを、全て一列に並べ、カードに書かれた数字を左から順にＸ１、Ｘ２、Ｘ３・・・
Ｘ１５として、

Sｎ＝Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３＋Ｘ４＋・・・Ｘｎ （ｎ＝１，２，３，４，・・・・１５）

とおく。このとき全ての、ｎに対してＳｎ≧０となる確率を求めよ。

(そこで、このような回答を得られました。）

１枚ずつとって、順に並べるとして
ｘｙ平面上で、ｘは 2のカードを取った回数、ｙは -1のカードを取った回数として、原点から 格子上を最短経路を通って、（5,10） までいく方法を考えます。
. ただし、どこかで ポイント（合計）が マイナスになったらいけないので、「ｙ＝2ｘ 上およびそれより下を通っていく」という条件がつきます。

各格子点に行くまでの場合の数を、各格子点上に書き込んでいくと下記のようになります。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .273
. . . . . . . . . . . . . . . . 55. . 273
. . . . . . . . . . . . . . . .55. . 218
. . . . . . . . . . . . 12. . .55. . 163
. . . . . . . . . . . .. 12. . 43. . 108
. . . . . . . . . ..3. . 12. . 31. . 65
. . . . . . . . . .3. . 9. . .19. . . 34
. . . . . . 1. . .3. . .6. . 10. . . .15
. . ... . . 1. . .2. . .3. . . 4. . . .5
. . 1. . .1. . .1. . . .1. . . .1. . . .1

2と-1のすべての順列の数は 15Ｃ5＝3003 （通り）
そのうち、途中までの合計がマイナスにならない場合の数は 273 （通り）

したがって
求める確率＝273/3003＝1/11 . （通り） .となります。

私は、別解として、

「このとき全ての、ｎに対してＳｎ≧０となる確率」の否定、
「ある特定のｎに対してＳｎ＜０となる確率」
を求めました。

上記の考えで、Ｙ＞２Ｘの部分の格子点
を数えたら、（3003-273＝）2730通りになりません。

数え間違いでしょうか？
それとも、考え方が違いますか？

「ある特定のｎに対してＳｎ＜０となる確率」は、
「Ｙ＞２Ｘの部分の格子点における場合の数の総数」
だと、思うのですが・・・。

お願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

「Ｙ＞２Ｘの部分の格子点における場合の数の総数」がどういう意味なのか分かりませんが、

求めたいものは、「Ｙ＞２Ｘの部分の格子点を１個以上通る経路の数」ですから、
つぎの５つの場合に分けて数えます。

(0,1)を通る場合、1×14C5 = 2002
(0,1)を通らず(1,3)を通る場合、1×11C4 = 330
(0,1),(1,3)を通らず(2,5)を通る場合、3×8C3 = 168
(0,1),(1,3),(2,5)を通らず(3,7)を通る場合、12×5C2 = 120
(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)を通らず(4,9)を通る場合、55×2C1 = 110

これを合計すれば2730になります。

補足

回答ありがとうございます。

ある特定のｎにおいてSnく０
とは、格子点上の場合の数をどのように数えたらいいのでしょうか？

回答No.4

f272

> 上記の考えで、Ｙ＞２Ｘの部分の格子点
> を数えたら、（3003-273＝）2730通りになりません。

と言っていたときの数え方に興味があるが，
2730通りを数えるための図を用意した。
黄色のところに注意してね。

お礼

解答ありがとうがとうございます。

「ある特定のｎに対してＳｎ＜０となる確率」を求めたいのなら，「Ｙ＞２Ｘの部分の格子点を必ず通る最短経路」を調べなければなりません。「Ｙ＞２Ｘの部分の格子点だけを通る最短経路」ではありませんよ」
この部分、」よく分かりました。

上の、エクセルですか？
よく分かりませんが、私なりに疑問は解決できました。
(^_^)v

回答No.3

nag0720

「全てのｎに対してＳｎ≧０となる確率」の否定を、
「ある特定のｎに対してＳｎ＜０となる確率」と表現するのは適切ではありません。
これだと「ある決まった数ｎ（例えばｎ＝５とかｎ＝１０とか）においてＳｎ＜０となる確率」に意味に捉えられ、「Ｓ5＜０となる確率」とか「Ｓ10＜０となる確率」のような意味になります。

「全てのｎに対してＳｎ≧０となる確率」の否定なら、
「特定」を取って、「あるｎに対してＳｎ＜０となる確率」とするか、
または、「Ｓｎ＜０となるｎが存在する確率」とすべきでしょう。

＞格子点上の場合の数をどのように数えたらいいのでしょうか？

残念ながら、格子点上の最短経路の考え方で2730を表現することはできません。
＃２で書いたように、複合的な計算式になります。

お礼

ありがとうございます。わかりやすい解答ありがとうございます。

｛Ｓｎ＜０となるｎが存在する確率｝これも、意味がよく分かりました。
少なくとも一つそうゆう「ｎ」が存在する。
といことですよね。

格子点の考え方も、ほんとうによく分かりました。

感謝します。

回答No.1

f272

「Ｙ＞２Ｘの部分の格子点における場合の数の総数」でどのような場合を表現しているつもりか分からないが，多分，間違ったものを数えている，に一票。
「ある特定のｎに対してＳｎ＜０となる確率」を求めたいのなら，「Ｙ＞２Ｘの部分の格子点を必ず通る最短経路」を調べなければなりません。「Ｙ＞２Ｘの部分の格子点だけを通る最短経路」ではありませんよ。

補足

ある特定のｎに対してＳｎ＜０

なので、格子点を通る場合の数を一つずつ　
　　　　　数えると思ったのですが・・・

違いますか？？