線積分にの問題についてお願いします。
教えていただきたいのは以下の問題です。
C1: x=t, y=0 (-1≦t≦1)
C2: x=cos[t], y=sin[t] (0≦t≦π)
C= C1+C2 とするとき
∫[C]・y*e^(x^2+y^2) dx
を求めよ
教科書に乗っていた公式?
∫[C]・f(P) dx =∫[a,b]・f(x(t),y(t))*x'(t) dt
に当てはめると、f(x,y)=y*e^(x^2+y^2)とおいて
∫[C1]・f(x,y) dx =∫[-1,1]・f(t,0)*1 dt = ∫[-1,1]・0 dt = 0
∫[C2]・f(x,y) dx =∫[0,π]・f(cos[t],sin[t])*(-sin[t]) dt
=∫[0,π]・sin[t]*e*(-sin[t]) dt =∫[π,0]・e*sin^2[t] dt
=∫[π,0]・e*(1-cos^2[t])/2 dt
= [(e/4)*(2t-sin^2[t])]・[π,0]
= (-e/2)*π
よって
∫[C]・y*e^(x^2+y^2) dx
= ∫[C1]・f(x,y) dx + ∫[C2]・f(x,y) dx
= (-e/2)*π ■
としたのですが、計算が複雑でなにか工夫が必要らしいのです、、、
線積分に触れることが普段ないのもあって困ってます。
ヒントだけでいいのでどうかよろしくおねがいします。
