線形代数の問題、どなたか教えてください。

質問

ベクトル空間Vにおいて、a1,a2,...,ak∈V が一次独立なとき

　b1＝a1, b2＝a1＋a2, b3＝a1＋a2＋a3, ..., bk＝a1＋a2＋…＋ak

は一次独立か？

回答No.4

B-juggler

もうそろそろ、終わったかな。

一次独立　って言うのは。

ベクトルが　平行でないこと　⇔　内積０　ベクトル　ａ＝ｋｂ　
　　　　　　　　　　　　　　　　（ａ，ｂはベクトル、ｋは任意の数）
これと同時に、

二つのベクトル、ａ，ｂともに　０ベクトルでないこと。

両方とも成り立っているときです。

　＃こんなのはＮＥＴで調べてもすぐに出てきますよ。

で、ａ１，ａ２，・・・・・・ａｋ　は一次独立、つまり

全部０ベクトル（長さのないベクトル）ではない！かつ、全てが平行ではない。

これがいえています。

さてここからが考えるところ。

ｂ１＝ａ１　これはいいとして、ｂ２＝ａ１＋ａ２。

ベクトルの足し算は当然知っているものとしますが、

例えば、二次ベクトルで　ａ１＝（１，１）　、ａ２＝（１，２）　だとすると

ｂ２＝ａ１＋ａ２　＝　（１＋１，１＋２）　＝　（２，３）

うん、これは、ａ１に平行ではない。　ａ１≠ｋ×ａ２だね

　もう少し書くと、　（１，１）≠　ｋ（２，３）＝（２ｋ、３ｋ）　

　こうなるようなｋは存在しないね。

さて、もう一歩行こうか。　ａ３＝（２，１）とします。　

ａ１，ａ２，ａ３　は全て一次独立の関係にあるね。

ｂ３を考えると、ｂ３＝ａ１＋ａ２＋ａ３だ。

ｂ３＝（１＋１＋２，１＋２＋１）＝（４，４）だね　おっと、これは！

ｂ３＝４×ｂ１ではないか！　平行だぞ！　ということで、反例を１つ挙げておしまい。

ｂ１、ｂ２・・・・ｂｋ　は　一次独立とはいえません。

いま、二次元ベクトルについて書いたけど、三次元だろうがｎ次元だろうが

ベクトルの足し算がわかっていれば、どこかで出てきてもおかしくはないと、気がつきます。

わかったかな？

イメージだけで考えるんじゃなくて、数値を入れてみて考えるのもコツだよ。

優しすぎるかな・・・。　お墓参りいけなかったから、罪滅ぼしだ。

さてここで問題。σ(・・*)は、本当のことを書いているでしょうか？

自分でちゃんと確かめてみてね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.3

B-juggler

えっと、言葉の使い方からして、大学の線形代数ですね。

まず分かるように書いてください。

ベクトル空間Ｖ　の要素は、全てベクトルなのですから、

ａ１，ａ２，ａ３・・・，ｂ１，ｂ２，ｂ３・・・・　は全てベクトル。

くらい書いておこうよ。もちろん見れば分かるけど。

こういうところでサボっていては、先が思いやられる＞＜

Ｎｏ．２さんも書かれてるんだけど、

大学行ってまで丸投げしないでね～。

自分でどう思うか書いてから！　人に解かせて単位だけもらおう！って言うのはね＞＜

まず、一時独立って何か知っているかどうか。

次は、ベクトルの足し算の結果がどうなるか分かっているかどうか。

これだけでしかないよ、この問題。

数学には睡眠学習は効かないし、おそらく数学が本職の方ではないでしょう。

だからって、やらなくていいわけにはならないよ。

ちゃんと何か役に立つのだから。

少なくとも考えていさえすればだけど。

でね、これは何が聞きたいのかちゃんと書いてないんですよ？

　＃だからＮｏ．１さんがかかれたわけで。

「ｂ１，ｂ２・・・・，ｂｋ　は一時独立か？」

だと思うけど、それがどこにもかいてないから、あっているかどうかすら分からない。

書き方をサボりすぎです。分かってない証拠にもなるんだよ＞＜

ちゃんとやってきていないなぁ～と思える証拠でもありますよ。

ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.2

Tacosan

あなたは一次独立だと思いますか? それとも, 独立ではないと思いますか?
どちらにしても, そう思う理由はなんですか?

回答No.1

Tacosan

で質問は?

補足

１次独立かどうかと、その証明方法を教えてください<(_ _)>