三角比の問題

質問

最近三角比について習いました。　公式は覚えたのですが問題として出されるとよく分かりません。

その問題がこれです。

半径１０の円に内接する正ｎ角形の１辺の長さを求めよ。　また、円の中心Ｏから正ｎ角形の１辺

に下ろした垂線の長さを求めよ。

※この問題には最初から図は与えられていません。

解説お願いいたします。

回答No.4

eco1900 · ベストアンサー

他にも解き方はありますが、「最近三角比について習いました」を考慮してお話ししておきますね。
【画像】参照しながら読んでみてください。

●多角形そのものが「正n角形」ということ→「n個の内角、n本の辺を持つ」ということは大丈夫ですね。
　・正n角形の一辺「AB＝x」としておきますよ。
　・△OABは…（半径OA＝半径OBなので）二等辺三角形ですよね。
　・OBをOの方向へ延長し、Bと反対側の円との交点をPとしますね。（簡単に言うとOAを含んだ円の直径）
　・△PABは…（円周角の定理より∠ABP＝∠R）の直角三角形ですね。
　・また、確か…PB＝20（円の直径）なので、ここで「三角比の公式」と使って^^v。

●次に、もう一つの質問についてですが…こちらは上の答えが出せると簡単ですよ。
　・OからABへ下した垂線の足Hとしますね。
　・「二等辺三角形は頂角の二等分線は底辺を二等分する」から点HはABの中点になっていますよ。
　・△AOHと△APBってよく見ると…相似ですね^^A、更に相似比もお分かりになりましたか^^A？
　　　→△AOHのOAと対応しているのは△APBのどこでしょうか？
　・上のことを踏まえると、…線分PBの長さを求めてしまってからOH＝yとでもおいてからOH求めた方が近道ですね。
　　　→ここで再び「三角比の公式」を使って^^v。

　　―（ちょっと余談ですが、無理に△OAHについて三平方の定理は計算きついですね、、しかも「三角比を最近学んだ」ようなので^^）

★ということで、一応最後に答えておきますよ。【画像】みながら確認してみてくださいね。

●多角形はn角形なので、n個の内角にn本の辺で成り立つ。
　→（ここでは、あえて一つの内角よりも、円の中心を利用した）∠AOB＝2π/n
　→（円周角の定理…弧ABに対する円周角はその中心角∠AOBの半分より）∠APB＝θ＝π/n
　→△APBは∠B＝∠Rの直角三角形なので、sinθ＝AB/AP＝x/20　だから、x＝20sin(π/n)
　→求める辺の長さは「20sin(π/n)」

●△AOH∽△APBが成り立つ。
　→（AO：AP＝1：2なので…）その相似比は1：2、ということはOH：PB＝1：2
　→上と同じようにして（三角比から求めると）、cosθ＝PB/AP＝y/20　だから、y＝20cos(π/n)
　→（相似比から）OH：y＝1：2　だから、OH＝10cos(π/n)
　　…本当は、中点連結定理を使ってもいいと思いましたが…あえて「三角比」からの解答でした^^A。

お礼

お礼が大変遅れてしまって申し訳ありません。
解答ありがとうございます。

さらに図まで添付していただき非常に助かります。
いまさらですがとても分かりやすい解答だったためベストアンサーに選ばせて
いただきました。

回答No.3

nattocurry

正ｎ角形の一辺の両端と、円の中心を結んだ三角形を考えましょう。
二辺が円の半径で、一辺が正ｎ角形の一辺の、二等辺三角形です。
半径と半径で挟まれいる角の大きさは解りますよね？
円の中心から対辺の中点に線を引くと、2つの直角三角形に分けられます。
一辺は円の半径、一辺は正ｎ角形の一辺の半分、一辺は問題の中で出てきた垂線。
あとは、あなたが覚えた公式とやらに当てはめれば、答えは出ます。

お礼

お礼が大変遅れてしまって申し訳ありません。
解答ありがとうございました。

回答No.2

blue_rose

こんにちは

宿題？

ヒント

・円に内接する正ｎ角形の一辺をＡＢとすると、△ＡＢＯの∠ＢＯＡは？
・△ＡＢＯは、二等辺三角形だよね？
・ＯからＡＢにおろした垂線の交点をＰとすると、△ＡＰＯについて考えれば、答え出るんじゃない？

ＡＯ、ＢＯの長さと、∠ＡＯＰ、∠ＰＯＢは、問題から与えられているよね？
あとはsin、cos使えば、こたえでるよね。

お礼

お礼が大変遅れて申し訳ありありません。
解答ありがとうございます。

回答No.1

yukaru

図を描けばわかります

正ｎ角形だとなんなので正４角形と正５角形くらいでも描けばいいですよ

で円に接する部分と円の中心Ｏは１０となるので三角比を使うという感じです

お礼

お礼が大変おくれてしまって申し訳ありません。
解答ありがとうございました。

参考になりました。