幾何の問題

質問

次の幾何の問題について参考文献があれば教えていただきたいと思います。　半径１の単位円に内接する正n角形を考えます
　具体的には　半径１の円に内接する正六角形ABCDEFについて
頂点Aから隣り合う両辺の長さと対角線の長さの積AB・AC・AD・AE・AFの値を考えます。こんな感じで単位円に内接する正n角形について、ある頂点を決めてその頂点からの対角線と両辺の長さを全部かけるとｎになるという問題です。
六角形のときには６になります。ｎが偶数のときには証明が出来たのですかｎが奇数の時、・・自分ではできたと思っているのですが・・自信がないので検証したいと思ってます。
円の中心から垂線をおろして三角関数の積和の公式を使ってやってますが・・
何か参考になる本があれば教えてください。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

純粋に幾何学的にやるのは分からなかったのですが、御参考に複素数を
使ってやってみます。
α(k)=cos(2kπ/n)+i×sin(2kπ/n)
（k=0,1,2,…,n-1）
は単位円をn等分する点です。
問題は、
｜1-α(1)｜×…×｜1-α(n-1)｜
=｜(1-α(1))…(1-α(n-1))｜=n
を証明することです。
(1-α(1))…(1-α(n-1))
について考えると、
nが偶数のときは(n-2)/2組の共役複素数と、1つの実数（1-(-1)=2）の積、
nが奇数のときは(n-1)/2組の共役複素数の積になっているので、
この積は正の実数であり、結局、
(1-α(1))…(1-α(n-1))=n
を証明すれば良いことになります。

ここで、x^n-1という多項式を考えると、x^n-1=0の解は、
1,α(1),…,α(n-1)
のn個なので、
x^n-1=(x-1)(x-α(1))…(x-α(n-1))
と因数分解されます。
f(x)=(x-α(1))…(x-α(n-1))とおくと、
x^n-1=(x-1)f(x)
両辺をxで微分すると、
nx^(n-1)=f(x)+(x-1)f’(x)
x=1とすると、
n=f(1)=(1-α(1))…(1-α(n-1))
となって、証明できたことになります。

お礼

ありがとうございます。複素数を使うことに気がつきませんでした。
三角比の応用かなという思い込みで、偶数の時はうまくいったので自分の方法に固執していました。証明ありがとうございました。この問題、大変気に入ってまして成り立つことがわかってとてもうれしく思いました。ありがとうございました。