三角比

質問

半径10の円に内接する正n角形の1辺の長さを求めよ。また、円の中心Oから正n角形の1辺に下ろした垂線の長さを求めよ。

という問題がどうしても分りません(＞＜)
どなたか解説をお願いいたしますm(_ _)m
ちなみに解答は
1辺の長さ：20sin180°/n
垂線の長さ：10cos180°/n
よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

ちゃんと図を描けば、そのまま解答が出ます。

円の中心Oから正n角形の1辺ABに下ろした垂線OHが作る△OHBにおいて
∠BOH=∠AOB/2=(360°/n)/2=180°/n
（中心角360°をn等分すれば∠AOBになる）
なので
BH=AB/2=OBsin∠BOH=10sin(180°/n)
一辺ABの長さは
AB=2*BH=20sin(180°/n)[cm]

垂線OH=OBcos∠BOH=10cos(180°/n)

お礼

丁寧な解説ありがとうございます！
おかげで解けました！

回答No.3

gohtraw

図を書きながら考えて下さい。
（１）Ｏを中心とする円を書き、その円周上に２つの点ＡとＢをとります。
（２）ＡとＢを直線で結びます。ＡＢが正ｎ角形の一辺になります。
（３）ＯとＡ、ＯとＢを直線で結びます。この二本の線は初めに書いた円の半径ですね。そして正ｎ角形なのでこの二本の線のなす角は（３６０／ｎ）度です。
（４）ＯからＡＢに垂線を下ろします。垂線とＡＢの交点をＣとします。三角形ＯＡＢは二等辺三角形なので、ＣはＡＢを二等分します。また、角ＡＯＣ＝角ＢＯＣです。

これで準備ができました。まず辺の長さから。
ＡＢの長さはＡＣの長さの二倍です。三角形ＯＡＣにおいて角ＯＣＡは９０度、角ＡＯＣは（３６０／ｎ）／２＝（１８０／ｎ）度なので、ＡＣの長さ＝ＯＡの長さ＊ｓｉｎ（１８０／ｎ）です。つまり１０＊ｓｉｎ（１８０／ｎ）ですね。ＡＢの長さはこの二倍です。

次にＯＣの長さ。やはり三角形ＯＡＣについて考えると、ＯＣの長さはＯＡの長さ＊ｃｏｓ（１８０／ｎ）ですね。

解答中のsin180°/n　というのはｓｉｎ１８０°をｎで割ったものではなく、ｓｉｎ（１８０／ｎ）°　であることに注意して下さい。

お礼

見やすい解説ありがとうございます！

回答No.2

fukuda-h

円の中心をO.隣り合う頂点をA、Bとして三角形OABを考えると
OA=OB=10の二等辺三角形です。∠OAB=360°/n
頂点Oから底辺ABに垂線を下し交点をCとすると
∠OAC=(360°/n)/2=180°/n
三角形OACで
sin(180°/n)=ＡＣ/１０。AB=2AC
またcos(180°/n)=OC/10

お礼

回答ありがとうございます！