正規直交系の問題です。

質問

｛xk｝をヒルベルト空間Xの正規直交系とする。部分空間Lの閉包は、部分空間であることを示せ。
という問題です。
関数解析における閉包がいまいち感覚がわからず、解法がわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

pikaruche · ベストアンサー

ヒルベルト空間Xでは内積<x,y>が定義されるので、ノルム||x||=√(<x,x>)が定義されます。

部分空間Lの閉包clLが部分空であることを示すには、任意のx,y∈clLとスカラーaに対してx+y∈clLとax∈clLを言えばよい。

x,y∈clLより、Lの点列(x_n),(y_n)が存在して、||x-x_n||が０に収束、||y-y_n||が０に収束。
これとノルムの性質を使って、
||(x+y)-(x_n+y_n)||->0 (n->∞)
||ax-ax_n||->0　(n->∞)
が示されます。（詳しくはやってみてください）