物理学、回転運動の問題

質問

物理の問題でわからない問題があるので教えていただけないでしょうか？

問題は以下のものです。

半径a(＞0)の円周上を一定の速さで質量mの質点が運動している。時間tでの位置ベクトルr(t)が、θ(t)=ωt+Φとして、r(t)=a｛cosθ(t)i+sinθ(t)j｝と書き示されている場合について、以下の問いに答えなさい。
ただし、角速度ωと初期位相Φは定数である(ω≠0)。

(1)時間tにおける質点の速さを求めなさい。

(2)時間tにおける質点の運動量ベクトルp(t)=mv(t)とその大きさ|p(t)|を求めなさい。(v(t)は時間tにおける「質点の速度ベクトル量」である。)

(3)時間tにおける基準点Oに関する質点の角運動量ベクトルL(t)=r(t)*p(t)を求めなさい。

(4)時間tにおける質点の加速度ベクトルa(t)を求めなさい。

(1)は全くわからなく(2)以降が解けません。
(2)は位置ベクトルr(t)を微分したものが速度ベクトルv(t)なので、そこから|p(t)|を求めればいいでしょうか？
(3)は　基準点Oに関する　というのがよくわからないのですが、普通にr(t)と(2)で求めたp(t)を掛けたものでいいのでしょうか？
(4)は速度ベクトルv(t)を微分したものが加速度ベクトルa(t)であっているでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

SKJAXN

(1) v[t]=(d/dt)y[t]=a(cos(ωt+φ)*i+sin(ωt+φ)*j)
=a(-ω*sin(ωt+φ)*i+ω*cos(ωt+φ)*j)=a*ω(-sin(ωt+φ)*i+cos(ωt+φ)*j);

(2) p[t]=m*v[t]=m*a*ω(-sin(ωt+φ)*i+cos(ωt+φ)*j);
|p[t]|=m*a*ω*√((-sin(ωt+φ))^2+(cos(ωt+φ))^2)=m*a*ω;

(3)「基準点Oに関する」＝「基準点Oに対する」ですので、
L[t]=r[t]×p[t]
※　ここで「×」はベクトルの外積です。

2つのベクトルAi+Bj+CkとDi+Ej+Fkの外積は、
(B*F-C*E)i+(C*D-F*A)j+(A*E-B*D)k →{1}
で表わせますので、

L[t]=a(cos(ωt+φ)*i+sin(ωt+φ)*j+0*k)×m*a*ω(-sin(ωt+φ)*i+cos(ωt+φ)*j+0*k)
=m*a^2*ω*(cos(ωt+φ)*i+sin(ωt+φ)*j+0*k)×(-sin(ωt+φ)*i+cos(ωt+φ)*j+0*k) →{2}

ここで式{2}は、式{1}でいうCとFが0ですので、kの項だけが残ります。よって、
L[t]=m*a^2*ω*(0*i+0*j+(cos(ωt+φ)^2+sin(ωt+φ)^2)*k)=m*a^2*ω*k;

※　外積U×Vの向きは、Uベクトルの向きからVベクトルの向きに対して右手でベクトル間の角度の小さい方に右手で回したとき、親指が指す方向になります。外積U×Vの大きさは、UベクトルとVベクトルが形成する平行四辺形の面積になります。

(4) a[t]=(d/dt)v[t]=a*ω(-ω*cos(ωt+φ)*i-ω*sin(ωt+φ)*j)
=-a*ω^2*(cos(ωt+φ)*i+sin(ωt+φ)*j);

※　結局a[t]=-ω^2*r[t]になりましたね。