電磁気学についての質問です。

質問

自己、相互インダクタンスの変化量を求めることが必要な問題です。それぞれをL、Mとします。
最初に、自己インダクタンスについて考えます。長さl、単位長さ当たりの巻き数をn、ソレノイドの断面積をSとすると、L＝μ0ｎ＾2lSのとき、断面積を一定にしたまま、長さを⊿lだけ伸ばすことを考えます。
下は僕の考えです。
⊿L=μ0ｎ＾2(ｌ＋⊿ｌ)S－μ0ｎ＾2ｌS＝μ0ｎ＾2⊿ｌS
続いて、解答です。
⊿L＝μ0（ｎｌ）^2（１/(l+⊿ｌ) -1/l)S ≒-μ0(ｎｌ)＾2⊿ｌ/l＾2S=-μ0ｎ＾2S⊿ｌ

しかし、相互インダクタンスの変化量では、相互インダクタンスがM＝（μ0a/2π)log(1+b/ｘ）のとき、a,bは回路の辺の長さです。ｘは導線と回路の距離です。ｘ＋⊿ｘへと距離を変えたとします。
この変化量は下の解答の通りです。
⊿M＝μ0a/2π(log(x+⊿ｘ＋b/x+⊿x)-log（x+b/x)＝μ0a/2π（log(1+(⊿x/x+b))-log(1+(⊿x/x)))
≒μ0a/2π（１/(x+a)-1/x)⊿ｘ＝－μ0ab⊿ｘ/2πx(x+b)

自己インダクタンスの時の僕の考え方は相互インダクタンスと同じ考え方でしたが、違っていました。なぜ、自己インダクタンスは先のようなめんどくさい計算なのでしょうか？

さらに、話は変わりますが誘導起電力を求める問題で、誘導起電力をφem、磁束をΦとすると
φem=-dΦ/dtですよね？
時々φem=dΦ/dtを見ます。φem=-dΦ/dtのとき、外からかけた電位差はφ=dΦ/dtだと思いますが、なぜ同じ誘導起電力にもかかわらず、符号が違うんでしょうか？

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

【ひとつめ】インダクタンス

この問題は，単に微分法を正確にこなせるかどうかのものです。
変化する量は，n および l 。

L = μ0 n^2 l S

∴ΔL = μ0 S ( 2nΔn l + n^2 Δl )

ここで，全体の巻き数をNとおくと，

n = N/l
∴Δn = -NΔl/l^2 = -n Δl/l

結局，

ΔL = μ0 S ( -2n^2Δl + n^2Δl ) = -μ0 n^2 S Δl

ですね？

【ふたつめ】電磁誘導について

負号は，レンツの法則を示しているだけです。磁束の変化を妨げる方向…ということですね？誘導起電力の大きさを求めるだけなら負号は必要なく，絶対値を求めればよいわけで，その方向については単に「変化を妨げる向き」で十分だということです。

お礼

巻き数と単位長さあたりの巻き数は一緒で、nは変化しないのではないのでしょうか？
それともnlとnは違うのでしょうか？

n = N/l
∴Δn = -NΔl/l^2 = -n Δl/
といった式がありましたが、－がなぜ出てくるんでしょうか？

電磁誘導についてですが、変化を妨げる向きで符号も変わるようですが、問題文で作図して、どの方向を正とし、妨げる向きも図示しどの方向を向いているかで符号がかわるということでしょうか？

回答No.5

yokkun831

>>N が一定の下で長さ l を伸ばしていますので，
Δn = dn/dl・Δl
ここで n を l の関数と見て，
dn(l)/dl = N×(-1/l^2)
ということです。

>式の展開がさっぱりわからないです。

n(l) = N/l
dn(l)/dl = N d(1/l)/dl = N (-1/l^2)

1/x の x による微分が -1/x^2 ということですが…

それとも　Δn の式の意味がわからないということでしょうか？

お礼

そうですね。
すみません、変なこといいましたね。

ありがとうございました。

回答No.4

yokkun831

>巻き数と単位長さあたりの巻き数は一緒で、nは変化しないのではないのでしょうか？
>それともnlとnは違うのでしょうか？

他の回答で理解されたことと思いますが，ソレノイドの場合に単位長当たり巻き数 n というのがその特性を示す重要なパラメータになっています。基本は，単位長当たり巻き数 n のソレノイドに電流 I が流れたときに生じる中心軸上の磁場が
H = n I
ということですね。

>n = N/l
>∴Δn = -NΔl/l^2 = -n Δl/
>といった式がありましたが、－がなぜ出てくるんでしょうか？

N が一定の下で長さ l を伸ばしていますので，
Δn = dn/dl・Δl
ここで n を l の関数と見て，
dn(l)/dl = N×(-1/l^2)
ということです。

>電磁誘導についてですが、変化を妨げる向きで符号も変わるようですが、問題文で作図して、どの方向を正とし、妨げる向きも図示しどの方向を向いているかで符号がかわるということでしょうか？

その通りですね。一般にコイルの場合には，右ねじの回転方向をコイルの電流方向，右ねじの進む方向をコイルをつらぬく磁束の方向として，電流方向にしたがう（その電流をつくるような）電圧を正とするというルールにしたがって，正負の向きを決める場合が多いようです。したがって，磁束変化が正方向のとき，誘導起電力は負方向になります。しかし，このルールはややこしいので，単純に「変化を妨げる向き」を負号として表現している，と考えるのがわかりやすく，それで実用的には十分な理解といえると思います。

お礼

>N が一定の下で長さ l を伸ばしていますので，
Δn = dn/dl・Δl
ここで n を l の関数と見て，
dn(l)/dl = N×(-1/l^2)
ということです。

式の展開がさっぱりわからないです。

回答No.3

delli7

１の方の回答で良いのですが、少しわかりやすく、、、
問題の自己インダクタンスのｎは、単位長さ当たりの巻き数とあります。（つまり巻き数はnl)
質問者さんは式は、巻き数を増やしてソレノイドの長さを長くした場合の式。（インダクタンスは増える）
問題の式は巻き数そのままで、引っ張ってソレノイドを伸ばした場合の式。（巻き線がスカスカになってインダクタンスは減る）

インダクタンスの式は、ｎが巻き数で書いてあるものと、単位長さ当たりの巻き数で書いてあるものがあり、質問者さんは取り違えたのでは？

お礼

たしかに、自己インダクタンスのほうは巻き数を一定としたまま長さを増やしていますね。
逆に相互インダクタンスのときは単純に長さをふやしていました。

この条件の違いが質問文にあるような式の違いも生じさせたと考えてよろしいでしょうか？
言い換えると、上記の二つの条件で求め方を使い分けると考えてよろしいでしょうか？

回答No.2

FT56F001

誘導起電力の符号について

ときどき悩まされる問題です。
電圧の向き，電流の向き，磁束の向き，
自己インダクタンス符号の取り方で，+にする流儀と，-にする流儀があります。

私がたどりついた理解として，自己インダクタンスが正になるよう，電流と磁束の関係を定める時，
コイルを負荷と見て，コイルにかける電圧eとコイルに流れ込む電流をとる流儀では，e=+dΦ/dt
コイルを電源と見て，コイルに生じる電圧eとコイルから流れ出す電流をとる流儀では，e=-dΦ/dt

ただし，電気の専門家の間でも，人により理解の仕方が違うみたいです。

お礼

わかりました。
しかし、コイルの問題ではない場合、たとえば円板に垂直に一様な磁場がかかっていて、中心軸まわりに回転させるときのような問題のときはどうするのでしょうか？