電磁気学の問題

質問

半径ａ、長さｌ、巻き数Ｎ１のソレノイドに電流Ｉを流し、その中心で半径ｂ、巻き数Ｎ２の円形コイルを角速度ωで回転させるとき円形コイルに発生する起電力はいくらか？

この問題なのでが、まずコイル同士がどのような位置関係にあるのかイメージがつきません。また「その中心」というのが、半径ａの中心なのか、長さｌの中心なのかわかりません。解き方としてはどう解けばいいのでしょうか？

回答No.5

physicist_naka · ベストアンサー

> ソレノイドの中心の磁場は、
> 2・（a＾2/2）∫_0~l/2　（dxN1/ｌ）/(a^2+x^2)^3/2　
> となっていました。これはいったいどういう意味なのでしょうか？

そうですか。ということはNo.3のａ≪ｌの近似をせずに解けという
ことのようですね。ちょっと面倒になります。

まず、円電流が作る軸上の磁場を求めます。
これはビオ・サバールの法則
ｄH＝（1/4πｒ^3）Iｄｓ×ｒ　　（ｄH、ｄｓ、ｒはベクトル）　（１）
を使えばできるでしょう。答えは
H＝（ａ^2Ｉ/2）（ａ^2+ｘ^2）^（-3/2）　　　　　　　　　　　　（２）
となります。
次に、ソレノイドはこの円電流がたくさんつながったものと
考えることが出来ますから、（２）を積分の形に変形します。
すると、
2・（a＾2/2）∫_0~l/2　（dxN1Ｉ/ｌ）/(a^2+x^2)^3/2　　　　　　（３）
（Ｉが抜けてましたよ。）
となります。
あとはまた自分でやってみましょう。
わからなければまた質問してください。

補足：中心に置く円形コイルの半径ｂはソレノイドの半径ａに比べて
　　　十分小さい必要がありますね。こうしないとソレノイドの中心
　　　から離れた場所の磁場が必要になってきます。
　　　この計算はさらに大変。

回答No.4

physicist_naka

> あとは、磁束を求めればいいのですが、磁束はB・Sですよね。

いえ、N2回巻きですのでN2・B・Sです。

> ということは、普通にμHScosθではいけないのでしょうか？

これもN2μHScosθですね。

> H＝N1(1)/l，S=πｂ^2となりますよね？

H＝N1(I)/lですね。（1→I）

> それでθが問題になりますが。これはどのように扱えばいいので しょうか？
> 時間ｔのときと考えて、ωｔとしていいのでしょうか？

それでいいでしょう。時間の原点は気にしなくていいでしょうから。

> そうすれば最後は、磁束をｔで割ってマイナスをつければそれが起電力
> ということでいいのでしょうか？

ｔで微分です。

お礼

はい！ありがとうございました！！

補足

すみません、回答を見ましたところ、ソレノイドの中心の磁場は、
2・（a＾2/2）∫_0~l/2　（dxN1/ｌ）/(a^2+x^2)^3/2　となっていました。これはいったいどういう意味なのでしょうか？上の式から、B＝μ_0N1l/√(4a^2+l^2)というのになっているのですが。理解できません。アドバイスお願いします。

回答No.3

physicist_naka

まず、ソレノイドの形状についてですが、ａ≪ｌとします。
（そうしないと計算が大変。）
こうすると対称性からソレノイド内部の磁場は場所によらず
一定となります。また、外部の磁場は０とみなせます。
そして、アンペールの定理
　　∫H・ｄｓ＝ｎ・I　（∫は一周積分）　　（１）
を使います。積分経路として導線ｎ本を含み、ソレノイドの中から外に渡る
長方形をとります。長方形の軸方向の長さをｓとすると、
（１）の左辺＝Ｈ・ｓ
（１）の右辺＝（Ｎ１ｓ／ｌ）・Ｉ
となるので（１）は、
　Ｈ＝Ｎ１Ｉ／ｌ　　　　　　　　　　　　　（２）
となります。

あとは自分でやってみましょう。
わからなければまた質問してください。

お礼

アドバイスありがとうございます。
あとは、磁束を求めればいいのですが、磁束はB・Sですよね。ということは、普通にμHScosθではいけないのでしょうか？H＝N1(1)/l，S=πｂ^2となりますよね？それでθが問題になりますが。これはどのように扱えばいいのでしょうか？時間ｔのときと考えて、ωｔとしていいのでしょうか？そうすれば最後は、磁束をｔで割ってマイナスをつければそれが起電力ということでいいのでしょうか？

回答No.2

milkysugar

ソレノイド内部の磁場はN1×I/lで一様です．証明は手元の本には書いてない…中心軸上でそうなることは割と簡単に示せますが．

お礼

ありがとうございます。なぜN1×I/lなんでしょうか？？
あとは、φ＝BSから、磁束密度を求めてやればいいのでしょうか？？

回答No.1

ymmasayan

ソレノイドをパイプと思って下さい。
円形コイルはソレノイドと書いてないので、長さはゼロ、円盤と思って下さい。
ソレノイドの長さ方向の中心、断面から見ても中心に円盤を配置します。
円盤をくるくる回すとちょうどパイプの中を流れる流体を円盤がせき止めたり、
全く邪魔をしなかったりという風に見えます。ここまでがイメージです。

解き方は、まず円盤の中の磁束を求めます。せき止めた状態が最大です。
９０度まわるとゼロです。
コイルに発生する電圧は磁束の時間微分×コイルの巻き数になると思います。

お礼

回答ありがとうございます！
あと、円板の中の磁束の求め方ですが、どうすればいいのでしょうか？まずはソレノイドの中心の磁場を求めないといけないと思いますが、その求め方がわかりません。∫H・ｄｓ＝N1・I/ｌをもちいるのでしょうか？