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1階の微分方程式
y'+(2x+1)y-y^2=x^2+x+1の一般解を求めよ。（y'はdy/dx）という問題なんですが、とりあえず=0のときの解、y'+y=y^2の解を求めたみました。変数分離で解はy-y^2=Ce^(-x)になりました。これを使ってなんとかできると思うんですが、わかりません。ヒントだけでも教えていたたきたいです。よろしくお願いします。
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すみません訂正させてください。 式をいじっているうちにみょうなところを消し忘れてしまいました。 奇妙な形の微分方程式ですね。 趣味のよい先生ではないように思います。私ならギブアップです。 それでも、しばらく式を見ているとｙ＝ｘが特殊解であることがわかります。 だから解は ｙ＝ｘ・ｆ（ｘ）／｛ｃ+ｆ（ｘ）｝ ＝ｘ - ｃｘ/｛ｃ+ｆ（ｘ）｝＝ｘF（ｘ） ****（1） のような形になると思いました。 （ｆ（ｘ）が単調増加（減少）関数なら ｜ｃ｜＜＜｜ｆ（ｘ）｜ で特殊解になる） ｙ＝ｘF（ｘ）を微分方程式 ｙ´+（2ｘ+1）ｙ-ｙ＾２＝ｘ＾２+ｘ+1 に突っ込むと （ｘ＾2+ｘ+1）｛F（ｘ）-1｝+ｘF´（ｘ）＝0 がでてくるようです。（微分方程式を解くのはおそらく2X年ぶり）（^^; 綺麗に解けなくてごめんなさい（綺麗な解法を見つけてください）。 F（ｘ）-1＝G（ｘ） と置き直せば F´（ｘ）＝G´（ｘ） だから （ｘ＾2+ｘ+1）G（ｘ）+ｘG´（ｘ）＝0 となり G（ｘ）の一般解は容易に求まりますので後は逆にたどっていくだけかな？。 （1）でｃ＝0場合どうするのか問題が残りそうですが.... その場合は特殊解そののままかもしれません。 申し訳ありませんが..... 私はパソコンに不慣れでして、他の質問で図を使いたいのですがどうなるかわからないのでちょっと実験させてください。 回答に関係の図を添付する付ける実験をしますが気にしないで下さい。スイマセン（^^; 実験は失敗だったようです。あきらめます
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- tamasecond
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奇妙な形の微分方程式ですね。 趣味のよい先生ではないように思います。私ならギブアップです。 それでも、しばらく式を見ているとｙ＝ｘが特殊解であることがわかります。 だから解は ｙ＝ｘ・ｆ（ｘ）／｛ｃ+ｆ（ｘ）｝ ＝ｘ -（ｘ）/｛ｃ+ｆ（ｘ）｝＝ｘF（ｘ） .............（1） のような形になると思いました。 （ｆ（ｘ）が単調増加関数なら｜ｃ｜＜＜｜ｆ（ｘ）｜で特殊解になる） ｙ＝ｘF（ｘ）を微分方程式 ｙ´+（2ｘ+1）ｙ-ｙ＾2＝ｘ＾2+ｘ+1 に突っ込むと （ｘ＾2+ｘ+1）｛F（ｘ）-1｝+ｘF´（ｘ）＝0 がでてくるようです。（微分方程式を解くのはおそらく2X年ぶり）（^^; 綺麗に解けなくてごめんなさい（綺麗な解法を見つけてください）。 F（ｘ）-1＝G（ｘ） と置き直せば F´（ｘ）＝G´（ｘ） だから （ｘ＾2+ｘ+1）G（ｘ）+ｘG´（ｘ）＝0 となり G（ｘ）の一般解は容易に求まりますので後は逆にたどっていくだけかな？。 （1）でｃ＝0場合どうするのか問題が残りそうですが.... その場合は特殊解そののままかもしれません。 （きっともっと綺麗な解法があるのでしょうけど...) 申し訳ありませんが..... 私はパソコンに不慣れでして、他の質問で図を使いたいのですがどうなるかわからないのでちょっと実験させてください。 回答に関係の図を添付する付ける実験をしますが気にしないで下さい。スイマセン（^^;
- spring135
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