点と直線

質問

数II・点と直線の問題です。
解説が知りたいのに答えしか載っていなくて困ってます。
丁寧に教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

点P(2,1)と直線l:x+2y-9=0に対し、次の点の座標を求めよ。

(1)点Pから直線lに下ろした垂線の足H

(2)直線lに関して点Pと対照な点Q

ちなみに答えは
(1) H(3,3)
(2) Q(4,5)
です。

回答No.3

eco1900 · ベストアンサー

●点P(2,1)と直線l:x+2y-9=0に対し、次の点の座標を求めよ。

(1)点Pから直線lに下ろした垂線の足H

　→この問題は、噛み砕いて言えば・・・
　　「点Pと通って直線Lに垂直な直線(ｍとします)と、直線Lとの交点(この交点が丁度、点Hに相当します)を求めなさい。」という質問ですよ^^。

直線Lは、「y＝(－1/2)ｘ＋9/2」と変形できるので・・・傾きは「－1/2」。

　→これより、直線ｍはLに垂直だから・・・傾きは「－２」
　　＊２直線どうしが「垂直」なら・・・次のことが知られていますね^^。

　→「互いに掛けると－１になる」　または

　→「片方の傾きの「－(マイナス)をつけてその逆数」となる」

つまり、直線ｍは、傾き「－２」で、点P(2，1)を通るので・・・
　ｍ：y＝－２ｘ＋５

あとは、L式とｍ式を連立して解いた解が・・・Hの点の座標となっているんですよ^^。

(2)直線lに関して点Pと対照な点Q

　→こちらの方も、噛み砕いて言えば・・・
　「点PとQの中点が、丁度、点Hに相当します」ということになります。つまり、（１）の答えを利用することになります。

　まず点Qの座標をひとまずQ(a, b)としておきますね。

　「P(２，１)とQ(a, b)の中点＝H(●, ▲)」なので・・・

　　ｘ座標・・・（２＋a）/2＝●　　y座標・・・(１＋b)/2＝▲
　　　（つまり、中点を求める式として求めるといいですよ）

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございました。
分かりやすかったです。

回答No.4

info22_

(1)
PH⊥lなので
Hは「半径r=PH、中心P(2,1)の円と接線l:x+2y-9=0との接点」なので
C:(x-2)^2+(y-1)^2=r^2 …(A)
l:x+2y-9=0　→ x=9-2y …(B)
(B)を(A)に代入してxを消去
(7-2y)^2+(y-1)^2=5y^2-30y+50=r^2
5y^2-30y+50-r^2=0
これが重解を持つから
　判別式D/4=225-5(50-r^2)=0
　∴r=√(50-45)=√5
このとき
　(x,y)=(3,3) (重解)
接点Hすなわち垂線の足Hは(3,3)

(2)
対称な点Qの座標を(X,Y)とすると
Hは線分PPQの中点なので
　(2+X)/2=3
　(1+Y)/2=3
これを解けば
Q(X,Y)=(4,5)

お礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.2

gohtraw

（１）
直線ｌの式を書きかえるとｙ＝ーｘ／２＋９／２
となります。従って点Ｐからｌに下ろした垂線の傾きは２になります。そこでこの垂線の式を
ｙ＝２ｘ＋ｂ
とすると、点Ｐを通ることより
１＝２＊２＋ｂ
ｂ＝－３
これで垂線の式が判ったので、
ｙ＝－ｘ／２＋９／２
ｙ＝２ｘ－３
の連立方程式を解けば垂線とｌの交点の座標が出ます。

（２）
Ｑの座標を（ｘ、ｙ）とすると、Ｑのｘ座標ーＨのｘ座標＝Ｈのｘ座標ーＰのｘ座標が成り立つ（ｙ座標についても同様）ので
ｘ－３＝３－２
ｙ－３＝３－１

お礼

回答ありがとうございました。
分かりやすかったです。

回答No.1

sabatorasiro

数IIというか１次関数の応用で解けますね。

答えはあるようなので解説だけ

まず２本の１次関数が垂直交わるときの比例定数の条件がわかっているでしょうか。
掛け合わせたとき－１になることですね。
あとはその直線が点Ｐ（2，1）を通るのだから式が完成しますね。
二つの１次関数の交点は＝で結べばｘが求まって、それを使ってｙも求まりますね。

点Ｐと交点Ｈがわかれば、同じ距離はなれたところにあるはずの点Ｑも求まりますね。
点Ｐから点Ｈまでｘがａ増加してｙがｂ増加するなら
点Ｑの座標は（２＋２ａ，１＋２ｂ）になるでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。
参考にさせていただきました。