積分 直線の回りの回転体

質問

ごくごく基本的なことなのですが、納得行ってなかったので…
y=x^2とy=xの間の領域を、y=xに対して回転させるとします。この体積Vを求めるとして…

y=x^2上の点P(p,p^2)をおく
Pからy=xへの垂線の足Qをおき、その座標を求める((p^2+p)/2,(p^2+p)/2)

PQの長さをlとして、原点OからQの長さOQ=tとおく。

ひとまず、pのx座標の位置を基準としてlを求め、
lを回転体の回転半径として、回転軸を考えるため、tで積分する(←疑問点)
この時、回転軸の移動していく範囲はtの範囲であるから、積分範囲として考慮する。

なんとなく計算していますが、この「tで積分する」のところをきちんと解説している解説書を見たことがありません。
随分前から引っかかっていました。初歩的なことですが、詳細な解説をお願い致します。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

No.3です。

ANo.3の補足質問について

>∫f(x)dx　におけるdxはδx(xの微小増分)のことなのですか?
dxはそのようにも取れますが、
高さf(x)の微小長方形の面積f(x)*dxの微小な幅dxとも言えます。

>いつでもそのように扱ってよいのですか?(dy/dxにおけるdx,dyは原理的に微小増分ですし、
微小増分、微小幅ともいえばす。面積を求める際は微量幅dxの長方形面積という性格上、長方形の高さy=f(x)とxの方向は直角（垂直）である必要があります(つまりdxはf(x)に直角な方向の微小増分（微小幅）とも言える)。

>あたかもそれが数であるかのように、
>置換積分の計算を行ったり、微分方程式では∫f(x)dx・dy/dx=∫f(x)dyなどと変換したりしますが、「いつでもどこでも、明らかにそのように言える」という確証がどうもありません。)

数ではなく、変数の微小変化幅（微小増分）ということです。
ただそれだけの意味しかありません。

>また、S(t)=π*半径^2=πL^2はなぜ、tの関数と言えるのですか?

S(t)はtだけで決まる断面積Sの意味です。
Lもだけで決まるのでtの関数と言えます。L=L(t)。
g(t)=t^2におけるg(t)と同じく,g(t)はtだけで決まる関数と言えます。
S(t)もtだけで決まる関数といえます。

>(tもxy平面上の変数ですから、xの陰関数とは言えそうですが、そういう意味ですか?
難しく考え過ぎです。

>陰関数tの関数として立式し、
目的語は何ですか？

>最後にtをxで置換する式、ということであれば、疑問は氷解します。
文意がよくわかりません。回転軸と回転体断面は直角である必要があります。それゆえ、回転体の体積が計算できることになります。

回答No.4

f272

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/integral/integral.htm
これの半ば以降をよく読んでね。

回答No.3

info22_

>lを回転体の回転半径として、回転軸を考えるため、tで積分する(←疑問点)

回転体の断面の円板の面積S(t)（Sはtの関数の意味）は
S(t)=π*半径^2=πL^2 ...(※)
(半径lは1と見間違い易いのでLと書く)
これに回転軸(t軸)方向の微小な厚さdtの薄い円板の体積は
S(t)に厚さdtを掛けた「S(t)dt」となりますね。
これをtの範囲0≦t≦√2にわたって積分すれば、回転体の体積が
　V=∫[0→√2] S(t)dt
となることはわかりますか？
(※)のS(t)を代入
　V=π∫[0→√2] (L^2)dt

>この時、回転軸の移動していく範囲はtの範囲であるから、積分範囲として考慮する。
dtが円板の厚さで,円板S(t)の回転面は回転軸OQに直角なのでに対して
微小円盤の厚み方向がOQ=tの方向になります。
円板S(t)に厚さdtを掛ければ厚さdtの微小な円板の体積S(t)dtが得られる訳です。これをt=0～√2まで寄せ集めたものが回転体の体積Vになる訳です。円板面と回転軸OQが垂直であるからOQ=tに沿って積分しないといけないということです。つまりdtが微小円板の厚さとなることを意味します。
つまり積分変数はtでなければならないということです。
tの変化範囲が積分範囲t:0→√2 ということです。

お分かりになりましたでしょうか？

補足

初歩的な質問で申し訳無いのですが、
∫f(x)dx　におけるdxはδx(xの微小増分)のことなのですか?　また、いつでもそのように扱ってよいのですか?(dy/dxにおけるdx,dyは原理的に微小増分ですし、あたかもそれが数であるかのように、置換積分の計算を行ったり、微分方程式では∫f(x)dx・dy/dx=∫f(x)dyなどと変換したりしますが、「いつでもどこでも、明らかにそのように言える」という確証がどうもありません。)

また、S(t)=π*半径^2=πL^2はなぜ、tの関数と言えるのですか?
(tもxy平面上の変数ですから、xの陰関数とは言えそうですが、そういう意味ですか?)

陰関数tの関数として立式し、最後にtをxで置換する式、ということであれば、疑問は氷解します。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
tは y＝ xに沿った積分ということになりますね。

よく使う「x軸を中心とした回転」にするために、1次変換で回転移動させてくるのも一手です。
http://okwave.jp/qa/q5755198.html

で、そのまま積分する場合ですが、
まずそれぞれの点の座標や L（大文字表記にしておきます）は x軸、y軸を基準にしています。

ですので、tに沿った積分も x軸、y軸を基準とした量に変換しなければなりません。
言い換えれば、「dtと dxの関係はどうなっているか」ということを表すことになります。
いまの問題では、これらの間には dt＝ √2* dxという関係が成り立ちます。
（xの増加に対して、tは√2倍増えていく）

置換積分は何気に変換していることが多いですが、図形的な意味を含んでいることもあります。
そういう見方もあることを片隅にでも入れておいてください。
http://okwave.jp/qa/q5903551.html

回答No.1

watecolor1969

この問題は y = x^2 を時計回りに
45°(π/4ラジアン)傾けた関数をy=f(x)として
x 軸周りの回転体として x で積分してももとまりますが、

ご質問のやり方は
関数そのものを回転させるのではなく、
y-x 直交座標系を反時計回りに45°回転させた、 l-t 直交座標系に
して考えるということでいいと思います。
なので l = g(t) という関数を(t軸周りの回転体として) t で積分すると考えれば
理解できると思います。