ハイパボリックサイン・コサイン・タンジェント

質問

sinhx,coshx,tanhx,での加法定理を証明したいのです。
結果は普通の加法定理と同じなのですが、どう証明していけばいいのでしょうか？
定義から求めるとは思うのですが・・・
宜しくお願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

本当にただの計算問題ですよー
sinh[x]=(exp[x]-exp[-x])/2
cosh[x]=(exp[x]+exp[-x])/2
が双曲線正弦、余弦の定義ですので、
sinh[x]cosh[y]+cosh[x]sinh[y]
=(exp[x]-exp[-x])(exp[y]+exp[-y])/4+(exp[x]+exp[-x])(exp[y]-exp[-y])/4
=(exp[x+y]+exp[x-y]-exp[-x+y]-exp[-x-y])/4+(exp[x+y]-exp[x-y]+exp[-x+y]-exp[-x-y])/4
=(exp[x+y]-exp[-(x+y)])/2
=sinh[x+y]
です。他もまったく同様。
sin,cosの場合と結果が同じなので、
tanh[x]=sinh[x]/cosh[x]
で双曲線正接を定義するからtanhの加法定理も同じ結論を得ます。