加法定理の証明

質問

加法定理の証明を,できれば
①三平方の定理を使って
②余弦定理を使って
③それ以外で
やってくださいませんか?

回答No.4

ddtddtddt · ベストアンサー

数学が苦手な人なんですか？。でも今の高校でもベクトルと行列はやってるような気がするし・・・(^^;)。以下は③で、どこにでも書いてますが、考え方がスマートで好きです。

　まず、ベクトル(x，y)をθ回す行列は、添付図の(1)です。
　次に、ベクトル(x，y)をα回した後に、β回す行列は(2)です。
　ところで上記は、α＋β と一気に回しても同じです。その行列は(3)です。
　(2)と(3)は等しいんだから、という事で(4)です。
　(4)右辺の行列積を直接計算してやり（(5)）、(5)と(4)の左辺を比べてやれば・・・。

　両辺の行列成分を等置して(7)。加法定理になります。

　ちなみに#2さんの、よくわからん記号ですが、一種の文字化けだと思います。Texか何かの数式を表すマークアップ言語を書いたのかな？、・・・と(^^;)。

お礼

thank you !質問内容とは違いますがいろいろ教えてくださったのでBAにさせていただきます！

回答No.3

f272

> 数学が苦手な人にはどう教えようかなぁ…

ここでの回答をもとに人に教えるのなら、AIの回答は無視した方がよい。全くのでたらめです。
ベクトルを使わない証明が欲しいのなら、例えば
三角形OAD＝(1/2)sinαcosα
三角形OBC＝(1/2)sinβcosβ
三角形AOB＝(1/2)*1^2*sin(180-(α+β))=(1/2)sin(α+β)
台形ABCD=(1/2)(sinα+sinβ)(cosα+cosβ)
=(1/2)sinαcosα+(1/2)sinβcosβ+(1/2)(sinαcosβ+cosαsinβ)
したがって
三角形AOB＝(1/2)sin(α+β)=(1/2)(sinαcosβ+cosαsinβ)
これでsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβがわかった。

お礼

わがまま言っちゃってすいません,そしてわがままに答えてくれてありがとうございます!

回答No.2

phistoric

加法定理は、三角形の2つの角度の余弦の和を、1つの角度の余弦に置き換える公式です。

①三平方の定理を使った証明：

二つの直角三角形の斜辺がそれぞれ共通の辺に接しているとします。
このとき、それぞれの斜辺の長さをaとbとすると、三平方の定理から、それぞれの直角三角形の残りの辺の長さは、√(a^2-c^2)と√(b^2-c^2)になります。
そして、三角形の余弦定理から、cos(α) = c/a かつ cos(β) = c/b です。
ここで、cos(α+β) = c/√(a^2+b^2-2abcos(γ))を導きます。
さらに、三角形の余弦定理から、cos(γ) = (a^2+b^2-c^2)/2abとなります。これを式に代入すると、cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)となります。これが加法定理です。

②余弦定理を使った証明：

三角形ABCにおいて、辺ABとACについて余弦定理を使うと、
AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2BC・ACcos(α) および AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB・BCcos(β)が得られます。
この式を整理して、cos(α) + cos(β) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / 2AB・ACとなります。
さらに、三角形の面積公式から、AB・ACsin(α) = 2Δと書けます。同様に、AB・BCsin(β) = 2Δとなります。
これを整理して、sin(α) = 2Δ / AB・AC および sin(β) = 2Δ / AB・BCと書けます。
この式を加法定理に代入すると、cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / 2AB・ACとなります。これが加法定理です。

③ $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

ここで、角度$\alpha$と$\beta$を持つ2つのベクトル$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$を考えます。$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$の成分を以下のように定義します。

$\mathbf{a} = \begin{pmatrix}a_1\a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\cos \alpha\r\sin \alpha\end{pmatrix}$

$\mathbf{b} = \begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\cos \beta\r\sin \beta\end{pmatrix}$

ここで、$r$は$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$の大きさ、すなわち

$r = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$

です。

ここで、$\alpha + \beta$のベクトル$\mathbf{c}$を以下のように定義します。

$\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix}a_1 + b_1\a_2 + b_2\end{pmatrix}$

このベクトル$\mathbf{c}$の大きさを$r'$とします。$r'$は以下のように表せます。

$r' = \sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2}$

ここで、$r^2$と$r'^2$を計算すると、以下のようになります。

$r^2 = a_1^2 + a_2^2 = b_1^2 + b_2^2$

$r'^2 = (a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 = a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2 + a_2^2 + 2a_2b_2 + b_2^2$

これらの式を使って、$\cos(\alpha + \beta)$を計算すると、以下のようになります。

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{r r'}$

ここで、$a_1b_1 + a_2b_2$を計算すると、以下のようになります。

$a_1b_1 + a_2b_2 = \frac{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 - r^2 - r'^2}{2}$

これを$\cos(\alpha + \beta)$の式に代入すると、以下のようになります。

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{(a_1 + b_1)^

お礼

なるほどねぇ〜…今の所二人とも「その他」がベクトルなのはなぜぇ？というか③がすごいんですけど、これは単純に私のパソコンがおかしいのでしょうか?スマホでもなるんですよ!

補足

「すごい」というのは,$ \cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $　よくわからん記号とｱﾙﾌｧﾍﾞｯﾄが並んですよねパソコン界では常識なんでしょうか?わたしはわかりませんが｡
いやまあ「なんとなく」でわかるんだけども｡(わからない箇所もあります)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上

回答No.1

f272

すべての場合に証明はすぐに見つかる
https://hiraocafe.com/note/additiontheorem.html

お礼

僕の探し方が下手だったみたいです😅
教えていただきありがとうございます!
そういえば,図を見ると角度θが鈍角なんですが,これは鋭角でも大丈夫ですよね。大丈夫ってことにしておきます｡

補足

数学が苦手な人にはどう教えようかなぁ…
(あ、本音が…)