円周率が3.05より大きいことを証明せよ

質問

ドラマ「受験の神様」で「円周率が3.05より大きいことを証明せよ。」という問題がありましたが、その問題に対する解説で「加法定理を使って証明する」といっていましたが加法定理はどこで使うのでしょうか。

ドラマでは
「半径1の円周の長さをｌｃとおき、正十二角形の周囲の長さをｌｓとおく。するとｌｃ＞ｌｓ・・・(1)　が成り立つ。
また円周率の定義からｌｃ＝２π・・・(2)が成り立つ。ここから加法定理を用いた解法に入ります。」
と言っていました。
（以下私の証明）
(1)と(2)から２π＞ｌｓ　すなわちπ＞ｌｓ/２
よって、π＞ｌｓ/2≧3.05を示せばよい。

ｌｓ/２の値は、余弦定理をもちいて計算すると
3（√6-√2）＞3.10

よって
π＞ｌｓ/2≧3.05は示された。
∴円周率は3.05より大きい　

私は上のように証明したのですが、どこで加法定理を用いるのか分かりません。
ドラマでは赤本が出ていたので、もしかしたら赤本にこの解法が載っているのかもしれません。
あいにく赤本を持ちあわせていないので、分かる方、お願いします。

（いろいろ調べたのですが
面積を用いる方法、ゼータ関数を用いる方法、正八角形を用いる方法、正十二角形を用いる方法（私の解法と同じ）、などさまざまな解法がありましたが、加法定理を使っているものは見つかりませんでした。）

回答No.4

aquarius_hiro

こんにちは。

加法定理を使って解いてみますね。

角度30度を挟んだ二辺の長さが1の二等辺三角形の底辺の長さを求めて（それをaとおきます）、それを12倍すれば、ls になるわけですね。

a = 2 sin(15°)= 2 sin(45°-30°)
　= 2 ( sin45°cos30°- cos45°sin30°)
　= 2/√2 (√3/2 - 1/2)
　= (√3-1)/√2

より、

ls/2 = 12a/2 = 6a = 6 (√3-1)/√2
　　= 3 (√6 - √2)

が得られます。

さて、3.05 が誤植かどうかですが、√の計算を易しくしてくれてるだけかもしれません。

√6 = 2.4494… > 2.440
√2 = 1.4142… < 1.415

を使うと、

ls/2 = 3 (√6 - √2)
　　 > 3 × ( 2.440 - 1.415 )
　　 = 3 × 1.025 = 3.075 > 3.05

ということで、

π > 3.05

が示せます。

もちろん、もっと正確に√の計算をして、もっと良い近似値は得られるでしょうが、ls/2 > 3.05 が満たされることには変わりないですから、解答としては問題ありません。

ちなみに、電卓を使ってもっと正確な値を求めると

π > ls/2 = 3.105828541230…

ですね。

回答No.3

chomsky123

>>実質的には「加法定理」と同じですから。？？？
>>sin15度=sqrt{(1-cos30度)/2} = 0.2588 ......
>>こうなると、3.05 は 3.105 の誤植みたいでもある。

Ｔ大を笑うのも良い、手計算しないのも良い。

昨日の予想は１００パ－セント。

回答No.2

kkkk2222

http://plaza.rakuten.co.jp/ultraprep/diary/200612170002/
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1112317871
http://sfr.air-nifty.com/diary/2005/05/post_8bd1.html

回答No.1

noname#101087

>ｌｓ/２の値は、余弦定理をもちいて計算すると
>3（√6-√2）＞3.10
>よって π＞
ｌｓ/2≧3.05は示された。

実質的には「加法定理」と同じですから、これで OK なのでは ?
「加法定理」から導かれる「半角公式」
　　sin 15°= sqrt{(1-cos 30°)/2} = 0.2588 ......
を使っても、
　　ls/2 = 3.1058 ......
となります。

(こうなると、3.05 は 3.105 の誤植みたいでもある)

お礼

ありがとうございます。
ドラマで「加法定理を用いた証明に入ります」といっていたので、てっきりもっと別の解法があるのか・・・と思ってしまったのですが、そうではないみたいですね・・・。