cos（a-b)=cosacosb+sinasinbについて

質問

cos（a-b)=cosacosb+sinasinbについてｂに－ｂを代入することで加法定理が証明できるといろいろなサイトにのっていますが、
この恒等式がーｂのときも成立するかわからないのになぜふつうに代入しているのでしょうか
よくわからないのでおしえてください！

回答No.3

owata-www · ベストアンサー

＃１さんは
＞「cos（α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ」のαとβは任意の角で証明することができます。
と仰っていますが

普通は（高校の場合は）加法定理を証明する時は
任意の角、αとβが
cos（α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ
を満たすことを証明して（単位円上の二点を取る方法）

それにα＝a、β＝-bを代入すると
cos{a－(-b)}=cos(a)cos(-b)＋sin(a)sin(-b)
=cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
となって加法定理が導かれます

＃２さんが仰るように恒等式なんですから-bの時も成立するのは当然なんですが
もしかしてθが-の時も定義されていることをお忘れでしょうか？

補足

普通は（高校の場合は）加法定理を証明する時は
任意の角、αとβが
cos（α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ
を満たすことを証明して（単位円上の二点を取る方法）

たしかにこれは加法定理を証明しています
しかしながら、直角三角形をふたつ重ねてする証明も、そうですが
角度が鋭角の場合だと思います

一般角にまでこの証明を拡張するさいに、もしもcosθがとちゅうから変な軌道を描いた場合いはどうでしょうか？
わたしは鋭角のみのしょうめいでは、不安定におもっています
この不安はどうやったら解消されるでしょうか？

具体的にいうと、cos(a-b)場合は、加法定理をみたしていても
cos(a＋ｂ）の場合は、異なっている可能性があるのではないか？
とおもってしまうのです

回答No.4

owata-www

直角三角形を２つ重ねる方法は０＜α＋β＜π/2しか適用できませんが、単位円で考えるなら一般角に拡張できます

＞一般角にまでこの証明を拡張するさいに、もしもcosθがとちゅうから変な軌道を描いた場合はどうでしょうか？
変な軌道を描くとは？
（cosθ、sinθ）は単位円上を動きます（三角関数の定義）　

申し訳ありませんが、質問者の方が何をお悩みか今ひとつ理解できません

補足

わかりました　もういちど考えて見ます！　ありがとうございました
＾＾

回答No.2

noname#160321

＃１のお答え通りですが、ご質問に不思議な日本語があるので指定しておきます。
>恒等式がーｂのときも成立するかわからない
「恒に」「等しい」から「恒等式」と呼ぶのです。
成立するか分からなくはありません、成立するから「恒等式」と呼んでいるのです。

補足

わたしがおもうに加法定理はいろんな作図での証明がありますが、
直角三角形をふたつ重ねてする証明も、二つの動く点を円周上にとって証明する場合も
角度が鋭角の場合だと思います

一般角にまでこの証明を拡張するさいに、もしもcosθがとちゅうから変な軌道を描いた場合いはどうでしょうか？
わたしは鋭角のみのしょうめいでは、不安定におもっています
この不安はどうやったら解消されるでしょうか？

具体的にいうと、cos(a-b)場合は、加法定理をみたしていても
cos(a＋ｂ）の場合は、異なっている可能性があるのではないか？
とおもってしまうのです

回答No.1

m07136

「cos（α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ」のαとβは任意の角で証明することができます。
したがって、βが－（マイナス）の角度でも任意の角度で証明が成り立っているOKなのです。

教科書などに「任意の角で証明することができる」か確かめてみてください。

　cos（α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ
ちなみにβ＝－βを上式に代入すると
　cos（α＋（－β）)=cosαcos（－β）－sinαsin（－β）
　cos（α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβとなりますよね!

補足

一般角にまでこの証明を拡張するさいに、もしもcosθがとちゅうから変な軌道を描いた場合いはどうでしょうか？
わたしは鋭角のみのしょうめいでは、不安定におもっています
この不安はどうやったら解消されるでしょうか？

具体的にいうと、cos(a-b)場合は、加法定理をみたしていても
cos(a＋ｂ）の場合は、異なっている可能性があるのではないか？
とおもってしまうのです