微分方程式の問題です。

質問

x=>0 で定義される実関数
f(x) = λ(x)(1 -∫(0→x) f(x)dx ) （ただし任意のx=>0においてf(x)=>0、0<= ∫(0→x) f(x)dx <=1）
における問題です。

(1) λ(x) = 1の場合に、与式より関数F(x)≡∫(0→x) f(x)dx についての微分方程式を導き、F(x)の解を求めよ。

(2) 上のλ(x) = exp(αx) (α>0) の場合に与式を満たすf(x)を求めよ。更にf(x) <= exp(αx)となることを示せ。

以上のような問題です。
このような形式の問題を見たことが無く、解法が分かりません。
できれば途中式込みで、どなたかご教授いただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

多分、
f(x) = λ(x)(1 -∫(0→x) f(x)dx )
は
f(x) = λ(x)(1 -∫(0→x) f(t)dt )
のことだと思いますので、これ以降はこのように書きます。

(1)
F(x)=∫(0→x)f(t)dt
の両辺をxで微分すると
F'(x)=f(x)
となります。この式をf(x)の満たす関係式
f(x) = 1 -∫(0→x) f(t)dt
に代入するとF(x)の満たすべき微分方程式が得られます。
初期条件を得るには、F(x)の定義式の両辺にx=0を代入してみると良いでしょう。

(2)
全く同様にF(x)=∫(0→x)f(t)dtとおく。
F'(x)=f(x)
この式をf(x) = exp(αx)(1 -∫(0→x) f(t)dt )に代入すればF(x)の満たすべき微分方程式が得られます。

このような方法をとらなくても
f(x) = exp(αx)(1 -∫(0→x) f(t)dt )
を変形した式
exp(-αx)f(x) = 1 -∫(0→x) f(t)dt
の両辺をxで微分することで直接f(x)の満たすべき微分方程式を得ることも可能です。
(1)の場合、こちらの方が簡単にf(x)の式を得ることが出来ますが、(2)の場合は一度F(x)を求めたほうが計算は楽そうです。